Аня нарисовала на координатной плоскости красным фломастером множество точек (x; y), удовлетворяющих соотношению |x|−|y|=5, а Ваня нарисовал синим фломастером окружность радиуса 5 с центром в начале координат. Сколько точек были покрашены и в синий, и в красный цвет?
Для решения задачи нужно рассмотреть каждое из условий, заданных для точек, нарисованных Аней и Ваней.
Красные точки, нарисованные Аней. Условие |x| - |y| = 5 можно разобрать на два случая:
a) x - y = 5 (для x ≥ 0 и y ≥ 0)
b) x + y = 5 (для x ≥ 0 и y < 0)
c) -x + y = 5 (для x < 0 и y ≥ 0)
d) -x - y = 5 (для x < 0 и y < 0)
Эти уравнения представляют собой линии, которые пересекают оси координат и образуют фигуру. Точки, удовлетворяющие данному условию, будут находиться на четырех линиях:
- x = y + 5
- x = -y + 5
- x = y - 5
- x = -y - 5
Это означает, что точки Ани образуют две параллельные линии в положительных и отрицательных областях координат.
Синие точки, нарисованные Ваней. Условие окружности радиусом 5 с центром в начале координат записывается как x² + y² = 25.
Теперь, чтобы найти количество точек, которые были накрыты и красным, и синим цветом, нужно определить, где пересекаются линии, полученные из первого условия, с окружностью.
Мы можем подставить одно из уравнений из красной области, например x = y + 5, в уравнение окружности:
\[ (y + 5)² + y² = 25 \]
Раскроем скобки:
\[ y² + 10y + 25 + y² = 25 \]
Сложим подобные:
\[ 2y² + 10y + 25 - 25 = 0 \] \[ 2y² + 10y = 0 \]
Вынесем y:
\[ 2y(y + 5) = 0 \]
Это дает два решения: y = 0 и y = -5. Подставим каждое значение y обратно, чтобы найти соответствующие x:
- Для y = 0: x = 5 → точка (5, 0)
- Для y = -5: x = 0 → точка (0, -5)
Аналогично можно рассмотреть остальные уравнения для поиска пересечений с окружностью.
Таким образом, изучая все условия, мы можем увидеть, что на самом деле существует 4 точки пересечения (2 для каждой линии), что означает, что Аня и Ваня закрасили 4 общие точки.
Ответ: 4 точки.
