Артём записал на доске шестизначное число — такое, что три старших и три младших разряда образуют последовательные трёхзначные числа (старшие разряды образуют меньшее из чисел).…

Рассмотрим шестизначное число, записанное Арустёмом, в виде \( \overline{abc|def} \), где \( abc \) и \( def \) — это три старших и три младших разряда соответственно. Условия задачи указывают, что \( abc \) и \( def \) являются последовательными трёхзначными числами, при этом \( abc < def \).

Таким образом, можно записать:

• \( abc = n \)
• \( def = n + 1 \)

Это значит, что шестизначное число принимает вид \( \overline{n(n + 1)} \), или в более понятной форме: \( 1000n + (n + 1) = 1001n + 1 \).

Мы знаем, что число делится на 501. Таким образом, у нас есть условие:

\[ 1001n + 1 \equiv 0 \mod 501 \]

Упростим это выражение, используя тот факт, что 1001 можно представить как \( 501 \times 2 + 1 \):

\[ 1001n + 1 \equiv 2n + 1 \equiv 0 \mod 501 \]

Решаем это уравнение:

\[ 2n + 1 \equiv 0 \mod 501 \]

Отсюда находим:

\[ 2n \equiv -1 \mod 501 \] \[ 2n \equiv 500 \mod 501 \] \[ n \equiv 250 \mod 501 \]

Так как \( n \) должно быть трёхзначным числом, мы найдем подходящие значения \( n \):

1. \( n = 250 \)
2. Проверяем \( n + 1 = 251 \)

Таким образом, шестизначное число:

\[ \overline{250251} \]

Теперь проверим, существует ли \(\ n = 251 \), однако:

1. \( n = 251 \)
2. \( n + 1 = 252 \)

Шестизначное число:

\[ \overline{251252} \]

Теперь проверяем условия делимости на 501:

• Для \( 250251 \):

\[ 250251 \div 501 = 499 \] Остатка нет.

• Для \( 251252 \):

\[ 251252 \div 501 = 501 \] Остатка нет.

Таким образом, числа, которые мог записать Артём, с учётом всех проверок и условий, это:

250251
251252