Артём записал на доске шестизначное число — такое, что три старших и три младших разряда образуют последовательные трёхзначные числа (старшие разряды образуют меньшее из чисел).…

Рассмотрим шестизначное число, представляющее собой последовательные трихзначные числа. Пусть первые три цифры - это \( n \), а последние три цифры - \( n + 1 \). Тогда наше число будет записано как \( n(n+1) \).

Число должно быть делимо на 501. Для начала найдем разложение 501 на простые множители: \[ 501 = 3 \times 167 \]

Теперь нам нужно найти такие \( n \), что номер \( n(n + 1) \) делится на 3 и 167.

1. Делимость на 3:

   • Известно, что последовательные числа \( n \) и \( n + 1 \) всегда включают одно кратное 3, так что условие выполняется.

2. Делимость на 167:

   • Это требует, чтобы либо \( n \) было кратным 167, либо \( n + 1 \) было кратным 167.

Теперь найдем подходящие значения \( n \).

1. Если \( n \) кратно 167, то \( n = 167k \):

   • Последовательные трехзначные числа тогда будут:
     • Для \( k = 1 \): \( n = 167 \), \( n + 1 = 168 \), а число = 167168.
     • Для \( k = 2 \): \( n = 334 \), \( n + 1 = 335 \), а число = 334335.
     • Для \( k = 3 \): \( n = 501 \) (некорректно, так как больше 3 знаков).

2. Если \( n + 1 \) кратно 167, то \( n = 167k - 1 \):

   • Для \( k = 1 \): \( n = 166 \), \( n + 1 = 167 \), а число = 166167.
   • Для \( k = 2 \): \( n = 333 \), \( n + 1 = 334 \), а число = 333334.
   • Для \( k = 3 \): \( n = 500 \) (некорректно, так как больше 3 знаков).

Таким образом, все подходящие варианты, накопленные из вышеперечисленного:

1. 167168
2. 334335
3. 166167
4. 333334

Эти числа удобны и соответствуют обозначенным условиям.