Дед Мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где все дети были разного возраста. Каждый из детей, начиная со старшего, сделал следующее: раздал из мешка по 2 конфеты каждому…

Чтобы решить задачу, давайте рассмотрим действия каждого ребёнка по порядку и определим, как меняется количество конфет в мешке Деда Мороза.

Обозначим количество детей в празднике как \( n \). Каждый ребёнок раздаёт 2 конфеты всем младшим детям и берет одну конфету себе, а затем кладёт в мешок по одной конфете за каждого старшего.

1. Обозначения:

   • Пусть старший ребёнок будет первым, а младший — последним.
   • Каждый ребёнок, начиная с самого старшего, раздаёт конфеты младшим детям и берет одну себе.
   • После того, как все дети получили своё, из мешка остаётся 9 конфет.

2. Рассмотрим ситуацию для нескольких детей:

   • Представим, что есть 2 ребёнка. Старший (1) раздаёт 2 конфеты младшему (2), берёт одну конфету себе и сразу же кладёт одну в мешок, так как он старше. При этом количество конфет в мешке изменится следующим образом:
     • Начнем, например, с 100 конфет.
     • Первый ребёнок: раздал 2 конфеты, взял 1 себе и положил 1 обратно — чистая потеря 1 конфета (то есть \( 100 - 2 + 1 + 1 = 100 - 2 = 98\)).
     • Второй ребёнок (который старше 1-го) — если у нас всего только 2 ребёнка, то он не сможет засчитываться для следующей итерации.

3. Обобщаем для большего количества детей:

   • Допустим, что у нас есть n детей, где старший раздаёт 2 конфеты каждому из \( n-1 \) младших детей. Каждый из них делает тот же процесс, и мы можем выразить количество конфет, остающихся в итоге.

4. Начнём с 100 конфет и будем по шагам уменьшать количество конфет с учётом событий, пока не дойдём до 9.

Каждое раздавание конфет можно проиллюстрировать формулой: \[ К_р = (К_п - 2(n-1) - 1 + (n-1)) \\ К_п = 100, К_р - 9 \]

Наконец, подбудем все уравнения и сведём к одному:

1. Обозначим \( x \) — количество детей:

• \( 100 - 2 \cdot \left(\frac{x(x - 1)}{2}\right) = 9 \) (где \( x(x-1)/2 \) — общее количество младших детей и раздача каждого по 2 конфеты младшим).

Решив это уравнение, найдем \( x = 10 \), что и является искомым результатом.

Итак, на празднике было 10 детей.