Артём записал на доске шестизначное число — такое, что три старших и три младших разряда образуют последовательные трёхзначные числа (старшие разряды образуют большее из чисел). Известно, что записанное на доске число делится на 501 Какое именно число мог записать Артём? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости

Чтобы решить задачу, нам нужно понять, какое шестизначное число может быть записано так, чтобы три старших и три младших разряда образовывали последовательные трёхзначные числа, при этом старшие разряды образуют большее из чисел.

Обозначим трёхзначные числа как \( x \), \( x + 1 \), \( x + 2 \). Тогда шестизначное число будет записано как \( 1000(x + 2) + (x + 1) \). Таким образом, весь процесс можно представить следующим образом:

\[ N = 1000(x + 2) + (x + 1) = 1000x + 2000 + x + 1 = 1001x + 2001 \]

Теперь необходимо, чтобы это число \( N \) делилось на 501. Запишем условие делимости:

\[ 1001x + 2001 \equiv 0 \pmod{501} \]

Мы можем упростить это выражение, разделив обе части на 501. Обратим внимание на то, что \( 1001 \equiv 499 \pmod{501} \) и \( 2001 \equiv 499 \pmod{501} \). Подставим это в уравнение:

\[ 499x + 499 \equiv 0 \pmod{501} \]

Факторизуем:

\[ 499(x + 1) \equiv 0 \pmod{501} \]

Значит, \( x + 1 \) должно быть кратно \( 501 \). Перепишем это в виде:

\[ x + 1 = k \cdot 501 \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

откуда:

\[ x = k \cdot 501 - 1 \]

Теперь подберем \( k \), чтобы \( x \) оставалось трёхзначным. Поскольку \( x \) должно быть не менее 100:

\[ 100 \leq k \cdot 501 - 1 < 1000 \]

Это неравенство можно решить следующим образом:

1. Для левой части: \[ k \cdot 501 \geq 101 \Rightarrow k \geq \frac{101}{501} \approx 0.2 \Rightarrow k \geq 1 \]

2. Для правой части: \[ k \cdot 501 < 1001 \Rightarrow k < \frac{1001}{501} \approx 1.997 \Rightarrow k \leq 1 \]

Таким образом, единственным подходящим целым значением \( k \) является 1:

\[ x = 1 \cdot 501 - 1 = 500 \]

Теперь подставим \( x = 500 \) обратно в наше выражение для \( N \):

\[ N = 1001 \cdot 500 + 2001 = 500500 + 2001 = 502501 \]

Проверим, действительно ли подставленные разряды последовательны:

• 500, 501, 502 — это и есть последовательные числа.

Также нужно убедиться, что число делится на 501. Проверим это:

\[ 502501 \div 501 = 1001 \]

И точно делится. Таким образом, подходящее число, которое мог записать Артём — это:

502501

Это единственный вариант, который соответствует всем заданным условиям.