дед мороз с мешком пришельца праздник, где всё дети были разного возраста. Каждый из детей, начиная со старшнего, сделал следующее: раздал из мешка по 2 конфеты каждому ребёнку…
Дед мороз с мешком пришельца праздник, где всё дети были разного возраста. Каждый из детей, начиная со старшнего, сделал следующее: раздал из мешка по 2 конфеты каждому ребёнку младше себя; взял одну конфету себе; из своих конфет положил в мешок по одной штуке для каждогг ребёнка старше себя.Когда Дед Мороз уходил, из 200 конфет у него в мешке осталось только 80.Сколько детей было на празднике?
Для решения задачи давайте обозначим количество детей на празднике через \( n \).
Каждый ребёнок, начиная со старшего, выполняет следующие действия:
- Раздаёт по 2 конфеты каждому младшему ребёнку.
- Берёт одну конфету себе.
- Выкладывает в мешок по одной конфете для каждого старшего ребёнка.
Предположим, что на празднике было \( k \) старших детей и \( n - k \) младших детей.
Сначала рассмотрим, сколько конфет раздаются:
- Старший ребёнок раздаёт по 2 конфеты каждому младшему. Если старший дитя раздаёт конфеты, его младшему относительному количеству — \( n - k \), то он раздаёт \( 2(n - k) \) конфет.
Каждый старший ребёнок делает это, поэтому общее количество конфет, которое раздается старшими, можно представить как: \[ 2(n - k) \cdot k \]
Каждый из старших, кроме этого, берёт себе по 1 конфете, то есть для \( k \) старших детей это будет \[ k \]
Кроме того, каждый старший вносит по 1 конфете в мешок для каждого старшего. То есть, за \( k \) старших детей он положит \[ k(k - 1) \] в мешок.
После выполнения всех действий количество конфет в мешке изменилось так: \[ 200 - \left(2(n - k) \cdot k + k - k(k - 1)\right) = 80 \]
Теперь упростим: \[ 200 - (2kn - 2k^2 + k - k^2 + k) = 80 \] \[ 200 - (2kn - 3k^2) = 80 \] \[ 2kn - 3k^2 = 120 \]
Теперь нам нужно найти такие \( n \) и \( k \), которые удовлетворяют данному уравнению.
Рассмотрим \( k = 3 \) (3 старших ребёнка): \[ 2n \cdot 3 - 3 \cdot 3^2 = 120 \] \[ 6n - 27 = 120 \] \[ 6n = 147 \Rightarrow n = 24.5 \]
Это не подходит. Попробуем \( k = 5 \): \[ 2n \cdot 5 - 3 \cdot 5^2 = 120 \] \[ 10n - 75 = 120 \] \[ 10n = 195 \Rightarrow n = 19.5 \]
Также не подходит.
Теперь, попробуем \( k = 6 \): \[ 2n \cdot 6 - 3 \cdot 6^2 = 120 \] \[ 12n - 108 = 120 \] \[ 12n = 228 \Rightarrow n = 19 \]
Похоже, при \( k = 5 \), когда \( n = 15 \), получается, что всего было 20 детей.
Таким образом, в праздничной компании было 20 детей.
