Артём записал на доске четырёхзначное число-такое, что два старших и два младших разряда образуют последовательные двухзначные числа (старшие разряды образуют большее из чисел).…

Чтобы решить эту задачу, давайте разберем условия:

1. Артём записал четырехзначное число, у которого два старших и два младших разряда образуют последовательные двухзначные числа. Это значит, что можно записать число в виде \( ABAB \), где \( AB \) - это последовательные двухзначные числа.
2. Старшие разряды должны образовывать большее из чисел, значит, мы можем обозначить меньший двузначный номер как \( n \) и больший как \( n+1 \).
3. Четырёхзначное число, которое мы ищем, будет иметь вид \( 1000(n+1) + 100(n+1) + 10n + n = 1100n + 1100 = 1100(n+1) \).
4. Это число должно делиться на 51.

Теперь мы можем проверить, что число \( 1100(n+1) \) делится на 51. Для этого нам нужно найти делимое число, деля \( 1100 \) на 51.

Сначала находим \( 1100 \mod 51 \): \[ 1100 \div 51 \approx 21.5686 \] Теперь находим целую часть: \[ 21 \times 51 = 1071 \] Теперь находим остаток: \[ 1100 - 1071 = 29 \] Теперь, поскольку \( 1100 \equiv 29 \, (\text{mod} \, 51) \), чтобы \( 1100(n+1) \) делилось на 51, нам нужно, чтобы \[ 29(n+1) \equiv 0 \, (\text{mod} \, 51). \] Следовательно, \( n+1 \) должно быть кратно \( 51/ \text{gcd}(29, 51) \). \( \text{gcd}(29, 51) = 1 \), значит, \( n+1 \) должно быть кратно \( 51 \).

Поскольку \( n + 1 \) - это двацифровое число, его возможные значения будут от 10 до 99. Мы можем найти такие \( n+1 \), которые кратны 51:

• 51 (тогда \( n = 50 \))
• 102, но это выходит за пределы двухзначного числа.

Таким образом, единственное двузначное число, соответствующее условиям, будет:

• 51

Теперь, возвращаясь к последовательным числам:

• Меньшее: \( 50 \), большее: \( 51 \)
• Таким образом, четырехзначное число будет \( 5051 \).

Теперь проверим кратность на 51: \[ 5051 \div 51 \approx 99 \] Это делится на 51 без остатка.

Таким образом, единственное число, которое мог записать Артём, — это 5051.