Три круга радиусами 2, 4 и 6 попарно касаются друг друга внешним образом. Круги радиусом 2 и радиусом 4 касаются в точке А, а круги радиусом 4 и радиусом 6 — в точке В. Найдите расстояние АВ, умноженное на V5.

Question 1

Задача Задача №1891820

А

Аноним

17 октября 2024 03:25 · публичный вопрос

А

Аноним 17 октября 2024 03:25

Три круга радиусами 2, 4 и 6 попарно касаются друг друга внешним образом. Круги радиусом 2 и радиусом 4 касаются в точке А, а круги радиусом 4 и радиусом 6 — в точке В. Найдите расстояние АВ, умноженное на V5.

Answer

Для решения задачи начнем с координат окружностей. Пусть центры кругов радиусами 2, 4 и 6 будут соответственно в точках \( O_1 \), \( O_2 \) и \( O_3 \).

Установим координаты окружностей:
- Положим \( O_1 = (0, 0) \) (центр круга радиусом 2),
- Положим \( O_2 = (6, 0) \) (центр круга радиусом 4; расстояние между центрами \( O_1 \) и \( O_2 \) равно \( 2 + 4 = 6 \)),
- Центр круга радиусом 6, \( O_3 \), будет находиться на расстоянии \( 4 + 6 = 10 \) от \( O_2 \) и на расстоянии \( 2 + 6 = 8 \) от \( O_1 \).
Теперь найдем координаты центра \( O_3 \): Рассмотрим, что \( O_3 \) будет находиться на оси абсцисс и удовлетворять уравнению: \[ (x - 6)^2 + (y)^2 = 100 \] \[ (x - 0)^2 + (y)^2 = 64 \]

Запишем систему уравнений:
1. \( (x - 6)^2 + y^2 = 100 \)
2. \( x^2 + y^2 = 64 \)
Подставим во втором уравнении \( y^2 \) из первого: \[ y^2 = 100 - (x - 6)^2 \] Соответственно, подставим в первое: \[ x^2 + 100 - (x - 6)^2 = 64 \] Раскроем скобки: \[ x^2 + 100 - (x^2 - 12x + 36) = 64 \] Упростим: \[ 100 - 36 + 12x = 64 \] \[ 12x + 64 = 64 \] \[ 12x = 0 \] \[ x = 0 \]

Подставив \( x = 0 \) в \( y^2 \): \[ 0^2 + y^2 = 64 \implies y = 8 \quad \text{или} \quad y = -8 \] То есть центры: \[ O_1 = (0, 0), \quad O_2 = (6, 0), \quad O_3 = (0, 8) \]

Теперь найдем точки касания:

Точка \( A \) (касание кругов радиуса 2 и 4): Так как радиусы 2 и 4 касаются по оси \( O_x \): \[ A = (2, 0) \]
Точка \( B \) (касание кругов радиуса 4 и 6): Длину между центрами \( O_2 \) и \( O_3 \) можно высчитать: Расстояние \( O_2O_3 \): \[ \sqrt{(0 - 6)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \] Расстояние между радиусами 4 и 6: \[ B = (6, 4) \]

Теперь находим расстояние \( AB \): \[ AB = \sqrt{(2 - 6)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \]

И умножим на \( V5 \): \[ AB \cdot V5 = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = 4 \sqrt{10} \]

Ответ: \[ AB \cdot V5 = 4\sqrt{10} \]

Question 2

Три круга радиусами 2, 4 и 6 попарно касаются друг друга внешним образом. Круги радиусом 2 и радиусом 4 касаются в точке А, а круги радиусом 4 и радиусом 6 — в точке В. Найдите расстояние АВ, умноженное на V5.

Answer

Для решения задачи начнем с координат окружностей. Пусть центры кругов радиусами 2, 4 и 6 будут соответственно в точках \( O_1 \), \( O_2 \) и \( O_3 \). 1. Установим координаты окружностей: - Положим \( O_1 = (0, 0) \) (центр круга радиусом 2), - Положим \( O_2 = (6, 0) \) (центр круга радиусом 4; расстояние между центрами \( O_1 \) и \( O_2 \) равно \( 2 + 4 = 6 \)), - Центр круга радиусом 6, \( O_3 \), будет находиться на расстоянии \( 4 + 6 = 10 \) от \( O_2 \) и на расстоянии \( 2 + 6 = 8 \) от \( O_1 \). Теперь найдем координаты центра \( O_3 \): Рассмотрим, что \( O_3 \) будет находиться на оси абсцисс и удовлетворять уравнению: \[ (x - 6)^2 + (y)^2 = 100 \] \[ (x - 0)^2 + (y)^2 = 64 \] Запишем систему уравнений: 1. \( (x - 6)^2 + y^2 = 100 \) 2. \( x^2 + y^2 = 64 \) Подставим во втором уравнении \( y^2 \) из первого: \[ y^2 = 100 - (x - 6)^2 \] Соответственно, подставим в первое: \[ x^2 + 100 - (x - 6)^2 = 64 \] Раскроем скобки: \[ x^2 + 100 - (x^2 - 12x + 36) = 64 \] Упростим: \[ 100 - 36 + 12x = 64 \] \[ 12x + 64 = 64 \] \[ 12x = 0 \] \[ x = 0 \] Подставив \( x = 0 \) в \( y^2 \): \[ 0^2 + y^2 = 64 \implies y = 8 \quad \text{или} \quad y = -8 \] То есть центры: \[ O_1 = (0, 0), \quad O_2 = (6, 0), \quad O_3 = (0, 8) \] Теперь найдем точки касания: - Точка \( A \) (касание кругов радиуса 2 и 4): Так как радиусы 2 и 4 касаются по оси \( O_x \): \[ A = (2, 0) \] - Точка \( B \) (касание кругов радиуса 4 и 6): Длину между центрами \( O_2 \) и \( O_3 \) можно высчитать: Расстояние \( O_2O_3 \): \[ \sqrt{(0 - 6)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \] Расстояние между радиусами 4 и 6: \[ B = (6, 4) \] Теперь находим расстояние \( AB \): \[ AB = \sqrt{(2 - 6)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \] И умножим на \( V5 \): \[ AB \cdot V5 = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = 4 \sqrt{10} \] Ответ: \[ AB \cdot V5 = 4\sqrt{10} \]