Три круга радиусами 2, 4 и 6 попарно касаются друг друга внешним образом. Круги радиусом 2 и радиусом 4 касаются в точке А, а круги радиусом 4 и радиусом 6 — в точке В. Найдите…

Давайте обозначим радиусы три кругов:

• радиус первого круга \( r_1 = 2 \)
• радиус второго круга \( r_2 = 4 \)
• радиус третьего круга \( r_3 = 6 \)

Поскольку круги касаются друг друга внешним образом, расстояние между центрами двух касающихся кругов будет равно сумме их радиусов.

1. Рассмотрим точки касания:

   • Точка \( A \) — это точка касания кругов радиусами \( r_1 \) и \( r_2 \).
   • Точка \( B \) — это точка касания кругов радиусами \( r_2 \) и \( r_3 \).

2. Теперь найдем расстояние между центрами кругов:

   • Расстояние между центрами кругов радиусами \( r_1 \) и \( r_2 \): \[ d_{A} = r_1 + r_2 = 2 + 4 = 6 \]

   • Расстояние между центрами кругов радиусами \( r_2 \) и \( r_3 \): \[ d_{B} = r_2 + r_3 = 4 + 6 = 10 \]

3. Определим расстояние между центрами кругов радиусов 2 и 4, а также между кругами 4 и 6. Если мы расположим центры кругов в плоскости, то можно использовать прямоугольную систему координат для упрощения расчетов. Положим:

   • Центр круга радиусом \( r_1 \) в точке \( (0, 0) \)
   • Центр круга радиусом \( r_2 \) в точке \( (6, 0) \)
   • Центр круга радиусом \( r_3 \) будет находиться на расстоянии \( 10 \) от центра круга с радиусом \( 4 \) вдоль перпендикуляра к оси X.

   Расположим центр круга радиусом \( r_3 \) в точке \( (6, y) \), тогда: \[ d_{B} = \sqrt{(6 - 6)^2 + (y - 0)^2} = y = 10 \] Таким образом, \( y = 10 \), и центр круга радиусом \( r_3 \) будет находиться в точке \( (6, 10) \).

4. Теперь найдем координаты точек касания \( A \) и \( B \):

   • Точка \( A \) (касание \( r_1 \) и \( r_2 \)): Поскольку круги касаются, то координаты точки касания \( A \) будут \( (2, 0) \).

   • Точка \( B \) (касание \( r_2 \) и \( r_3 \)): Точка \( B \) будет находиться на 4 единицы от центра второго круга и 6 единиц по вертикали, т.е. координаты точки \( B \) будут \( (6, 4) \).

5. Теперь найдем расстояние \( AB \): \[ AB = \sqrt{(6 - 2)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \]

6. Теперь умножим расстояние \( AB \) на \( \sqrt{5} \): \[ AB \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{10} \]

Поэтому окончательный ответ: \[ \boxed{4\sqrt{10}} \]