Дед Мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где все дети были разного возраста. Каждый из детей, начиная со старшего, сделал следующее: раздал из мешка по 2 конфеты каждому ребёнку младше себя; взял одну конфету себе; из своих конфет положил в мешок по одной штуке для каждого ребёнка старше себя. Когда Дед Мороз уходил, из 200 конфет у него в мешке осталось только 47. Сколько детей было на празднике?
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Обозначим количество детей за \( n \).
В процессе раздачи конфет каждый ребенок, начиная с самого старшего, раздает по 2 конфеты всем детям младше себя и берет одну конфету себе. Затем он кладет по одной конфете в мешок для каждого ребенка, который старше него. Поскольку мы знаем, что у Деда Мороза осталось 47 конфет из 200, мы можем определить, сколько конфет было потрачено.
Всего у Деда Мороза было 200 конфет, значит, он отдал:
\[ 200 - 47 = 153 \text{ конфеты} \]
Теперь рассмотрим, как распределялись конфеты.
- Каждый из \( n \) детей раздает 2 конфеты каждому младшему.
- Если \( k \) - это номер ребенка по возрасту (где \( k = 1 \) — младший, \( k = n \) — старший), то старший ребенок раздает 2 конфеты \( n-1 \) детям, то есть \( 2(n-1) \) конфет.
- Он берет 1 конфету себе: это дает еще 1 конфету.
- После этого он кладет по 1 конфете для всех старших детей, то есть \( k-1 \) конфет (где \( k \) — это число детей старше).
Однако эта схема сложна для нахождения общего количества детей, поэтому давайте рассматривать конкретные случаи.
Принимаем, что каждый ребенок старше раздает свои конфеты, и каждый раз, начиная со старшего:
- Допустим, старший — \( n \) -й ребенок, он раздает 2 конфеты \( n-1 \) детям, берет 1 себе и кладет \( n-1 \) в мешок. То есть, он тратит в общей сложности: \[ 2(n-1) + 1 - (n-1) = n \]
Это обобщение для всех детей дает нам формулу общих потраченных конфет.
Теперь суммируем все потраченные конфеты: Для всех \( n \) детей это будет: \[ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \]
Мы знаем, что общее количество потраченных конфет равно 153: \[ \frac{n(n + 1)}{2} = 153 \]
Умножим обе стороны на 2: \[ n(n + 1) = 306 \]
Теперь найдем \( n \): Решим уравнение: \[ n^2 + n - 306 = 0 \]
Используем дискриминант: \[ D = 1 + 4 \cdot 306 = 1225 \]
Корни уравнения: \[ n = \frac{-1 \pm 35}{2} \] \[ n = \frac{34}{2} = 17 \quad \text{или} \quad n = \frac{-36}{2} \text{(отрицательный корень не рассматриваем)} \]
Таким образом, детей на празднике было 17.
