Три круга радиусами 3,6 и 9 попарно касаются друг друга внешним образом. Круги радиусом 3 и радиусом 6 касаются в точке А, а круги радиусом 6 и радиусом 9- в точке В. Найдите расстояние АВ, умноженное на корень 5.

Для решения этой задачи сначала мы определим положение кругов с заданными радиусами. Пусть круги радиусами 3, 6 и 9 будут расположены последовательно, касаясь друг друга внешним образом.

1. Разместим круг радиусом 3 в начале координат, т.е. его центр будет в точке \(O_1(0, 0)\).
2. Круг радиусом 6 разместим таким образом, чтобы он касался первого круга. Его центр будет находиться на расстоянии \(3 + 6 = 9\) от центра первого круга, то есть в точке \(O_2(9, 0)\).
3. Круг радиусом 9 будет касаться круга радиусом 6. Его центр будет находиться на расстоянии \(6 + 9 = 15\) от центра второго круга. Соответственно, его центр будет в точке \(O_3(9 + 9 = 18, 0)\).

Теперь найдем точку касания \(A\) между кругами радиусом 3 и 6, а также точку касания \(B\) между кругами радиусом 6 и 9.

• Точка \(A\) находится на линии, соединяющей центры \(O_1\) и \(O_2\), и можно обозначить её как \(A(3, 0)\) (это расстояние от центра первого круга до точки касания).
• Точка \(B\) на линии между центрами \(O_2\) и \(O_3\) будет находиться на расстоянии \(6\) от центра круга радиусом 6, что даёт нам координаты \(B(9 + 6, 0) = (15, 0)\) (это расстояние от центра второго круга до точки касания).

Теперь можем найти расстояние \(AB\): \[ AB = |B - A| = |15 - 3| = 12. \]

Нам нужно найти расстояние \(АB\), умноженное на \(\sqrt{5}\): \[ AB \cdot \sqrt{5} = 12 \cdot \sqrt{5}. \]

Таким образом, ответом на задачу будет \(12\sqrt{5}\).