Артём записал на доске шестизначное число такое что три старших и три младших разряда образуют последовательные трёхзначные числа старшие разряды образуют большее из чисел…

Чтобы решить задачу, давайте представим шестизначное число \( ABCDEF \), где \( ABC \) - это старшие три разряда, а \( DEF \) - младшие три разряда. Из условия следует, что \( ABC \) и \( DEF \) - это последовательные трехзначные числа. Таким образом, можно записать \( ABC = x \) и \( DEF = x + 1 \).

Поэтому шестизначное число можно представить как: \[ N = 1000x + (x + 1) = 1001x + 1 \]

Также нам известно, что это число делится на 501. Мы можем воспользоваться свойством делимости. Если \( N \) делится на 501, то: \[ 1001x + 1 \equiv 0 \mod{501} \] Отметим, что \( 1001 \equiv 499 \mod{501} \). Таким образом, у нас получается: \[ 499x + 1 \equiv 0 \mod{501} \] или \[ 499x \equiv -1 \mod{501} \]

Теперь, чтобы решить это линейное уравнение в модульной арифметике, мы можем найти обратный элемент к 499 по модулю 501. Заметим, что \( 499 \equiv -2 \mod{501} \), поэтому: \[ -2x \equiv -1 \mod{501} \implies 2x \equiv 1 \mod{501} \]

Теперь найдем обратный элемент к 2 по модулю 501. Для этого используем расширенный алгоритм Евклида. Мы ищем такие числа \( a \) и \( b \), чтобы: \[ 2a + 501b = 1 \]

После вычислений получаем, что \( a \equiv 251 \mod{501} \). Теперь подставляем это в уравнение: \[ x \equiv 251 \mod{501} \]

Значит: \[ x = 251 + 501k \] где \( k \) - любое целое число.

Теперь находим значения \( ABC \) и \( DEF \). Мы знаем, что \( ABC \) должен быть трехзначным числом, следовательно: \[ 100 \leq x \leq 999 \]

Для \( k = 0 \): \[ x = 251 \implies ABC = 251, DEF = 252 \implies N = 251252 \]

Для \( k = 1 \): \[ x = 752 \implies ABC = 752, DEF = 753 \implies N = 752753 \]

Проверив эти числа на делимость на 501:

• \( 251252 \div 501 = 501 \)
• \( 752753 \div 501 = 1501 \)

Оба числа делятся на 501. Таким образом, Артём мог записать следующие подходящие числа:

1. 251252
2. 752753

Эти два числа соответствуют всем условиям задачи.