№ 4 В стране гномов принято давать детям двойные имена. Имена не должны повторяться и должны идти в алфавитном порядке. Так, например, имя Алмаз Топаз допустимо, a Алмаз Алмаз или Топаз Алмаз - нет. В некоторой компании среди любых трёх людей есть хотя бы один Алмаз, а среди любых четверых - хотя бы один Топаз. Полных тёзок, совпадающих по обоим именам, нет. Какое наибольшее количество человек может быть в компании?

В данной задаче нам нужно найти максимальное количество человек в компании гномов, учитывая условия о именах.

Допустим, что у нас есть g – количество гномов с именем «Алмаз», и t – количество гномов с именем «Топаз».

1. Условие «среди любых трёх людей есть хотя бы один Алмаз» подразумевает, что в любой комбинации из трёх человек должен присутствовать хотя бы один гном с именем «Алмаз». Это значит, что максимальное количество людей с именем «Топаз» в пределах трёх людей может составлять не больше двух. Таким образом, если x – общее количество человек в компании, то это условие можно выразить как:

   • x ≤ 2g + 1

   Здесь мы можем взять в группу два «Топаза» и добавить одного «Алмаза», т.е. максимум три человека.

2. Условие «среди любых четырёх есть хотя бы один Топаз» гласит, что в любой выборке из четырёх человек должен быть хотя бы один гном с именем «Топаз». Это означает, что максимальное число людей с именем «Алмаз» среди четырёх может составлять не более трёх. Мы можем записать это как:

   • x ≤ 3t + 1

Теперь у нас есть две неравенства:

1. \( x ≤ 2g + 1 \)
2. \( x ≤ 3t + 1 \)

Для достижения максимального количества гномов мы можем проанализировать сочетания значений для g и t, чтобы удовлетворить обоим условиям.

Во-первых, выражая g через t из первого неравенства:

• \( g ≥ \frac{x - 1}{2} \)

А из второго:

• \( t ≥ \frac{x - 1}{3} \)

Теперь приравняем \( g \) и \( t \):

• Подставим \( g \) в \( x ≤ 2g + 1 \):
  • максимальное значение \( g = x/3\)
  • тогда \( t = x/2\)

Подставив это в первое неравенство \( \frac{x}{3} \) и \( \frac{x}{2} \):

• Получится равенство \( 3t + 1 = 2g + 1 \)
• Максимум можно получить при \( g=2, t=3 \)
• Таким образом, получаете \( 2*2 +1=5\)
• Или по второму \(3 * 7 + 1=5\)

Таким образом, максимальное количество гномов в компании равно 5.