6 Олимпиады и тестироват в выборах главы школы. + Nº 3 В летнем лагере 25 детей. В первый день мальчики пошли в кино, а девочки — в бассейн. Во второй день все девочки пошли в кино, а мальчики - наоборот, в бассейн. Оказалось, что в первый день за все виды досуга было заплачено на 1313 рублей больше, чем во второй день. Известно, что посещение бассейна дороже, чем билет в кино. Сколько в лагере мальчиков? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Число

Давайте решим задачу, используя обозначения. Пусть:

• \( x \) — количество мальчиков в лагере
• \( y \) — количество девочек в лагере

Согласно условию, мы знаем, что:

1. \( x + y = 25 \) (всего 25 детей)
2. Пусть стоимость билета в кино равна \( a \) рублей, а стоимость посещения бассейна равна \( b \) рублей, где \( b > a \).
3. В первый день мальчики пошли в кино, а девочки — в бассейн, за что заплатили: \[ x \cdot a + y \cdot b \]
4. Во второй день все девочки пошли в кино, а мальчики — в бассейн, за что заплатили: \[ y \cdot a + x \cdot b \]
5. По условию задачи: \[ x \cdot a + y \cdot b = y \cdot a + x \cdot b + 1313 \]

Теперь упростим это уравнение: \[ x \cdot a + y \cdot b - y \cdot a - x \cdot b = 1313 \] Соберём все подобные: \[ (x - y) \cdot a + (y - x) \cdot b = 1313 \] Выразим это уравнение как: \[ (x - y) \cdot (a - b) = 1313 \]

Так как \( b > a \), можно записать: \[ (x - y) \cdot (-c) = 1313 \] где \( c = b - a > 0 \), следовательно: \[ x - y = -\frac{1313}{c} \]

Теперь нам нужно выразить \( y \) через \( x \): \[ y = 25 - x \]

Подставим в уравнение: \[ x - (25 - x) = -\frac{1313}{c} \] Упрощаем: \[ 2x - 25 = -\frac{1313}{c} \] То есть: \[ 2x = 25 - \frac{1313}{c} \] И откуда: \[ x = \frac{25}{2} - \frac{1313}{2c} \]

Итак, чтобы \( x \) было целым числом, \(- \frac{1313}{2c}\) должно быть целым числом. Поскольку \( 1313 \) не делится на \( 2 \), \( c \) должно быть чётным.

Теперь, чтобы определить возможные значения для \( x \) и \( c \), найдем делители \( 1313 \)—это \( 1, 7, 11, 13, 77, 91, 143, 181, 1313\). Но для нахождения \( c \), нам нужен чётный разделитель.

Возможные значения чётного \( c \):

• \( 1 \rightarrow 1313 \)
• \( 7 \rightarrow 187.57 \) (не целое)
• \( 11 \rightarrow 119.36 \) (не целое)
• \( 13 \rightarrow 101.08 \) (не целое)
• \( 77 \rightarrow 17.04 \)
• \( 91 \rightarrow 14.44 \)
• \( 143 \rightarrow 9.17 \)
• \( 181 \rightarrow 7.25 \)
• ...

Однако чисел не получается.

Если брать попробуем другие значения на \( x \) и \( y \). Например, \( x = 10 \):

1. Тогда \( y = 15 \): \[ 2x = x + 15, \quad 2 \cdot 10 > 15 \] Это выполняется.

Таким образом, пересчитать все возможные - возможные варианты: 10 мальчиков (и 15 девочек).

Другие значения аналогично проверить. Например, \( x = 8 \) учтём, \( 9 \)...

Возможно, решения только \( 10 \) или иные значения - логика выполняется.

Хотите, зафиксировать?