Артём записал на доске четырёхзначное число — такое, что два старших и два младших разряда образуют последовательные двузначные числа (старшие разряды образуют меньшее из чисел).…

Чтобы решить эту задачу, необходимо определить четырёхзначное число, где два старших и два младших разряда формируют последовательные двузначные числа. Обозначим старшие разряды как \( xy \) и младшие как \( x+1y+1 \). Таким образом, у нас есть два двузначных числа: \( 10x + y \) и \( 10(x + 1) + (y + 1) = 10x + 10 + y + 1 = 10x + y + 11 \).

Формируем четырёхзначное число: \[ n = 1000x + 100y + 10(x + 1) + (y + 1) = 1000x + 100y + 10x + 10 + y + 1 = 1010x + 101y + 11.\]

Число \( n \) должно делиться на 51. Теперь найдем возможные варианты \( xy \) и \( x+1y+1 \):

1. Последовательные двузначные числа:
   • 10 и 11
   • 11 и 12
   • 12 и 13
   • 13 и 14
   • 14 и 15
   • 15 и 16
   • 16 и 17
   • 17 и 18
   • 18 и 19

Запишем вероятность четырёхзначных чисел для каждого случая и проверим делимость на 51:

• 10 и 11: 1011;
• 11 и 12: 1112;
• 12 и 13: 1213;
• 13 и 14: 1314;
• 14 и 15: 1415;
• 15 и 16: 1516;
• 16 и 17: 1617;
• 17 и 18: 1718;
• 18 и 19: 1819.

Теперь проверим, какие из этих чисел делятся на 51:

1. 1011 - не делится на 51.
2. 1112 - не делится на 51.
3. 1213 - не делится на 51.
4. 1314 - делится (1314 ÷ 51 = 25,76).
5. 1415 - не делится на 51.
6. 1516 - не делится на 51.
7. 1617 - делится (1617 ÷ 51 = 31,71).
8. 1718 - не делится на 51.
9. 1819 - не делится на 51.

Таким образом, число, которое мог записать Артём, это 1314 и 1617.

Ответы:

• 1314
• 1617