Пусть a и b – корни квадратного уравнения x²-mx-4=0, а числа a+1/b и b+1/a – корни уравнения x²-px+q=0. Найдите q.

Для начала, давайте вспомним характеристику квадратного уравнения \(x^2 - mx - 4 = 0\). Пусть \(a\) и \(b\) — его корни, тогда по теореме Виета мы знаем:

1. Сумма корней: \(a + b = m\)
2. Произведение корней: \(ab = -4\)

Теперь найдем корни нового уравнения \(x^2 - px + q = 0\), где корнями являются \(a + \frac{1}{b}\) и \(b + \frac{1}{a}\).

Сначала вычислим сумму корней нового уравнения:

\[ \left(a + \frac{1}{b}\right) + \left(b + \frac{1}{a}\right) = (a + b) + \left(\frac{1}{b} + \frac{1}{a}\right) \]

Сумма \(a + b\) равна \(m\). Теперь упростим \(\frac{1}{b} + \frac{1}{a}\):

\[ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{a + b}{ab} = \frac{m}{-4} = -\frac{m}{4} \]

Теперь подставляем значения в сумму:

\[ p = m - \frac{m}{4} = \frac{4m - m}{4} = \frac{3m}{4} \]

Теперь найдем произведение корней нового уравнения:

\[ \left(a + \frac{1}{b}\right) \left(b + \frac{1}{a}\right) = ab + a \cdot \frac{1}{a} + b \cdot \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} = ab + 1 + 1 + \frac{1}{ab} \] \[ = ab + 2 + \frac{1}{ab} \]

Подставляем значение \(ab = -4\) в выражение:

\[ = -4 + 2 + \frac{1}{-4} = -2 - \frac{1}{4} = -2.25 = -\frac{9}{4} \]

Таким образом, \(q\) равно:

\[ q = -\frac{9}{4} \]

В ответе мы получаем:

\[ q = -\frac{9}{4} \]