Дед Мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где все дети были разного возраста. Каждый из детей, начиная со старшего, сделал следующее: раздал из мешка по 2 конфеты каждому ребёнку младше себя; взял одну конфету себе; из своих конфет положил в мешок по одной штуке для каждого ребёнка старше себя. Когда Дед Мороз уходил, из 200 конфет у него в мешке осталось только 47. Сколько детей было на празднике?

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим количество детей как \( n \).

Представим, что дети имеют разный возраст, и самый старший - это первый ребёнок, а остальные идут по убыванию возраста.

1. Распределение конфет:
   • Каждый ребёнок раздаёт по 2 конфеты всем детям, которые младше него.
   • Каждому ребёнку младше него достается по 2 конфеты.
   • Ребёнок берёт себе одну конфету.
   • Он кладёт в мешок по одной конфете за каждого ребёнка, который старше него.

Обозначим число конфет, которое раздаёт \( i \)-й ребёнок, следующим образом:

• У самого старшего ребёнка \( n-1 \) детей младше его. Он раздаёт \( 2(n - 1) \) конфет, берёт 1 себе и кладёт \( 0 \) конфет в мешок (поскольку нет детей старше его).
• У следующего по возрасту ребёнка \( n-2 \) детей младше него. Он раздаёт \( 2(n - 2) \) конфет, берёт 1 себе и кладёт 1 конфету в мешок.
• И так далее…

Итак, для общего количества конфет, которое раздает каждый ребёнок, используя формулу, мы можем записать:

Обозначим общее количество конфет, которые начинал Дед Мороз, как \( C = 200 \).

После раздачи конфет у него осталось \( 47 \).

Количество конфет, разданных всеми детьми: \[ C - 47 = 200 - 47 = 153 \]

Теперь найдем общее количество раздач конфет:

Общее количество отданных конфет можно выразить через количество детей: \[ 2(n - 1) + 1 + 2(n - 2) + 1 + 2(n - 3) + 2(n - 4) + \ldots + 2(0) + (n - 1) = 153 \]

Подсчитаем количество разданных конфет:

Пусть \( k \) — это количество конфет, которые раздал последний ребёнок. Тогда общее количество конфетовой раздачи можно выразить так:

• Количество раздаваемых конфет: \[ 2(n - 1 + n - 2 + n - 3 + ... + 0) + n = 2\left(\frac{(n-1)n}{2}\right) + n = (n - 1)n + n = n^2 \]

Уравнение принимает вид: \[ n^2 = 153 \]

Решая это уравнение, найдём \( n \): \[ n = \sqrt{153} \approx 12.37 \]

Но поскольку количество детей должно быть целым, округляем до ближайшего целого числа:

Мы получаем, что \( n = 12 \).

Таким образом, на празднике было 12 детей.