Дед Мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где все дети были разного возраста. Каждый из детей, начиная со старшего, сделал следующее: • раздал из мешка по 2 конфеты каждому ребёнку младше себя; • взял одну конфету себе; • из своих конфет положил в мешок по одной штуке для каждого ребёнка старше себя. Когда Дед Мороз уходил, из 100 конфет у него в мешке осталось только 9. Сколько детей было на празднике?

Давайте разобьём задачу на составляющие. Пусть количество детей обозначим как \( n \). Предположим, что самую младшую девочку мы обозначим как \( x_1 \), а самую старшую - \( x_n \). Отметим, что каждый из детей отдал конфеты младшим, забрал одну себе и отдал конфеты старшим.

1. Раздача конфет: Каждый ребенок, начиная со старшего, раздает по 2 конфеты всем младшим деткам. Если, например, самый старший (ребёнок номер \( n \)) раздаёт конфеты, то он раздаёт 2 конфеты для каждого из \( n-1 \) младших. Итак, всего он раздаст \( 2(n-1) \) конфет.

2. Забирание конфеты: Каждый ребенок берет одну конфету себе. Таким образом, если детей \( n \), то все они заберут \( n \) конфет.

3. Добавление конфет в мешок: Каждый ребенок также кладет в мешок по одной конфете для каждого из \( n \) старших детей. Таким образом, младшие дети не кладут ничего, и только старшие, начиная с \( x_2 \) до \( x_n \), кладывают \( n-1 \) конфет в мешок за каждого. Например, второй по старшинству ребенок кладет 1 конфету в мешок за каждого из старших, передавая 1 конфету только для одного ребенка старше себя.

Теперь давайте отметим, что количество оставшихся конфет в мешке по завершении было 9. Изначально их было 100, а значит, ушло 100 - 9 = 91 конфета.

Составим уравнение:

• Из мешка ушло:
  • \( 2(n-1) + n + \) (количество старших, которые положили конфеты в мешок)

Давайте считать, что \( m \) - это количество старших детей, которые оставили по одной конфете в мешок. Чистая формулировка для уравнения:

\[ 91 = 2(n-1) + n - m \]

Теперь нужно пересчитать \( m \) и выяснить, сколько на самом деле детей:

1. Сначала подставим результат 91 в уравнение:

\[ 91 = 2n - 2 + n - m \] \[ 91 = 3n - 2 - m \] Это значит, что \( m = 3n - 93 \).

2. Так как \( m \) должно быть меньше \( n \) (число детей не может быть отрицательным), получается:

\[ 3n - 93 < n \] \[ 2n < 93 \] \[ n < 46.5 \]

Таким образом, \( n \) может быть максимум 46.

Решая это уравнение, вернемся к подсчету детей. Поскольку все значения должны быть целыми, пробуем поочередно подставлять значения, начиная с \( n = 37 \) и ниже.

Но проще заметить, что при \( n=46 \) у нас:

\[ m = 3(46) - 93 = 3. \]

То есть, всего детей на празднике было 46.