Задание 2: Обозначим новую математическую операцию a*b=(a−1)(b+1). Известно, что a*b=30, а b a=40. Чему может быть равно a+b? Укажите все возможные варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Чтобы решить задачу, сначала давайте разберемся с обозначенной операцией \( a*b = (a-1)(b+1) \).
Сначала рассмотрим первое уравнение \( a*b = 30 \). Подставим в него:
\[ (a-1)(b+1) = 30. \]
Теперь рассмотрим второе уравнение \( b*a = 40 \). Обратите внимание, что \( b*a = (b-1)(a+1) \).
\[ (b-1)(a+1) = 40. \]
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- \( (a-1)(b+1) = 30 \)
- \( (b-1)(a+1) = 40 \)
Решим первое уравнение:
\[ ab + a - b - 1 = 30 \implies ab + a - b = 31. \]
Решим второе уравнение:
\[ ab + b - a - 1 = 40 \implies ab - a + b = 41. \]
Теперь у нас есть две новые формы этих уравнений:
- \( ab + a - b = 31 \) (1)
- \( ab - a + b = 41 \) (2)
Теперь вычтем (1) из (2):
\[ (ab - a + b) - (ab + a - b) = 41 - 31, \] что упрощает до:
\[ -2a + 2b = 10 \implies b - a = 5 \implies b = a + 5. \]
Теперь подставим \( b = a + 5 \) в первое уравнение \( (a-1)(b+1) = 30 \):
\[ (a-1)((a + 5) + 1) = 30 \implies (a-1)(a + 6) = 30. \]
Раскроем скобки:
\[ a^2 + 6a - a - 6 = 30 \implies a^2 + 5a - 36 = 0. \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
\[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169. \]
Корень из дискриминанта:
\[ \sqrt{169} = 13. \]
Теперь находим корни уравнения:
\[ a = \frac{-5 \pm 13}{2}. \]
Сначала с плюсом:
\[ a_1 = \frac{8}{2} = 4. \]
С минусом:
\[ a_2 = \frac{-18}{2} = -9. \]
Теперь найдем \( b \) для каждого значения \( a \):
Для \( a = 4 \): \[ b = 4 + 5 = 9. \]
Для \( a = -9 \): \[ b = -9 + 5 = -4. \]
Теперь у нас есть два варианта:
- \( a + b = 4 + 9 = 13 \).
- \( a + b = -9 - 4 = -13 \).
Итак, возможные значения \( a + b \):
- 13
- -13
Запишите ваши ответы:
- 13
- -13
