Дед Мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где все дети были разного возраста. Каждый из детей, начиная со старшего, сделал следующее: • раздал из мешка по 2 конфеты каждому ребёнку младше себя; • взял одну конфету себе; • из своих конфет положил в мешок по одной штуке для каждого ребёнка старше себя. Когда Дед Мороз уходил, из 100 конфет у него в мешке осталось только 9. Сколько детей было на празднике?

Давайте внимательно рассмотрим задачу и решим её шаг за шагом.

1. Пусть количество детей на празднике обозначим как \( n \). Каждый ребёнок получает 2 конфеты от Деда Мороза, если он младше того, кто раздаёт конфеты.
2. Каждый ребёнок, начиная с самого старшего, забирает одну конфету себе и откладывает по одной конфете в мешок для детей, которые старше него.

Представим, что старших детей \( k \) (где \( k \) - это количество детей, которые старше текущего ребёнка). Тогда для каждого ребёнка старше самого младшего:

• Он раздаёт 2 конфеты каждому из \( (n - i - 1) \) детей младше себя, где \( i \) — это текущий номер ребенка по возрасту (от 0 до \( n-1 \)).
• После этого он берёт одну конфету себе, и видит, что у него остается \( 100 - 9 \) конфет, т.е. 91 конфета.

Из этого следует, что все действия детей приводят к общему уменьшению количества конфет в мешке.

Теперь, идя по каждому ребёнку в обратном порядке (от младшего к старшему), мы можем посчитать, сколько конфет было добавлено и убрано:

• Каждый из \( n-1 \) младших детей получает по 2 конфеты от старшего.
• Каждый из детей старшего возраста возвращает в мешок по одной конфете для себя.

Сначала давайте найдем, сколько конфет раздаст последний старший ребёнок. Он раздаст 2 конфеты каждому из младших (\( n-1 \)) и возьмёт 1 на себя, а затем положит по одной старшим (то есть, ни одного не положит, поскольку он сам самый старший).

Как только они все сделают свои действия, у нас останется 9 конфет. Это приводит нас к уравнению:

\[ 100 - (2 \cdot (n-1)) + (n - 1) = 9 \]

Решая это, мы получим:

\[ 100 - 2n + 2 + n - 1 = 9 \] \[ 100 + 1 - n = 9 \] \[ 101 - n = 9 \] \[ n = 101 - 9 = 92 \]

Таким образом, на празднике было 92 ребёнка.