Артëм записал на доске шестизначное число – такое, что три старших и три младших разряда образуют последовательные трëхзначные числа (старшие разряды образуют меньшее из чисел).…

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала подробнее разберем условия.

Шестизначное число Артëма может быть представлено в виде \(abc\,def\), где \(abc\) и \(def\) — это трехзначные числа. Условие задачи гласит, что они должны быть последовательными, то есть:

• \(abc = n\)
• \(def = n + 1\)

Тогда шестизначное число будет:

\[ n \cdot 1000 + (n + 1) = 1001n + 1 \]

Теперь требуется, чтобы это число делилось на 501:

\[ 1001n + 1 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 501) \]

Прежде всего, найдём остаток от деления 1001 на 501:

\[ 1001 \div 501 \approx 1.996 \quad \text{(округляем до 1)} \] \[ 1001 - 1 \cdot 501 = 1001 - 501 = 500 \]

Таким образом, \(1001 \equiv 500 \ (\text{mod} \ 501)\).

Теперь мы можем записать уравнение так:

\[ 500n + 1 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 501) \] \[ 500n \equiv -1 \ (\text{mod} \ 501) \]

Добавим 501 к -1, чтобы получить положительное число:

\[ 500n \equiv 500 \ (\text{mod} \ 501) \]

Так как 500 и 501 взаимно просты, мы можем утверждать, что:

\[ n \equiv 1 \ (\text{mod} \ 501) \]

То есть, возможные значения \(n\) будут формироваться по следующему правилу:

\[ n = 501k + 1 \]

Значения \(n\) должны быть трехзначными.

Рассмотрим, какие целые \(k\) дают допустимые \(n\):

1. Для \(k = 0\), \(n = 1\) (не подходит, не трехзначное).
2. Для \(k = 1\), \(n = 502\) (т.е. \(abc = 502, def = 503\)).
3. Для \(k = 2\), \(n = 1003\) (не подходит, не трехзначное).

Таким образом, единственное подходящее значение для \(n\) — это 502. Соответственно, шестизначное число, записанное на доске Артёма:

\[ 502503 \]

Это единственный вариант, который удовлетворяет всем условиям задачи.