Артем записал на доске четырёхзначное число - такое, что два старших и два младших разряда образуют последовательные двузначные числа ( старшие разряды образуют меньшее из двух…

Для решения задачи давайте обозначим четырёхзначное число как \(ABCD\), где \(AB\) – это старшие два разряда, а \(CD\) – младшие два разряда. Условие задачи говорит о том, что \(AB\) и \(CD\) должны быть последовательными двузначными числами, и \(AB\) должно быть меньше, то есть можно записать:

• \(AB = n\)
• \(CD = n + 1\)

где \(n\) – двузначное число. Таким образом, наше число можно выразить как:

\[ N = 1000A + 100B + 10C + D = 100 \cdot n + (n + 1) \] Теперь, поскольку \(n\) – это число двух разрядов, оно принимает значения от 10 до 98 (очевидно, что \(n + 1\) тоже должно оставаться двузначным).

Таким образом, число будет иметь вид:

\[ N = 100n + (n + 1) = 101n + 1 \]

Теперь нам нужно найти значения \(n\) такие, что \(N\) делится на 51. Это означает, что:

\[ 101n + 1 \equiv 0 \mod{51} \] Чтобы решить это уравнение, сначала нужно упростить его:

\[ 101n \equiv -1 \mod{51} \]

Посчитаем \(101 \mod 51\):

\[ 101 - 51 = 50 \quad \Rightarrow \quad 101 \equiv -1 \mod{51} \]

Подставим это в уравнение:

\[ -1n \equiv -1 \mod{51} \]

Отсюда мы можем заключить:

\[ n \equiv 1 \mod{51} \]

Так как \(n\) должно быть двузначным, исследуем значения \(n\):

Наименьшее значение \(n = 1\) (не подходит, так как меньше 10), следующее значение:

\[ n = 1 + k \cdot 51 \quad где \quad k \in \mathbb{Z} \]

При \(k = 0\) – \(n = 10\) (подходит), при \(k = 1\) – \(n = 62\) (подходит), при \(k = 2\) – \(n = 113\) (не подходит, это больше 98).

Теперь найдём соответствующие числа:

1. Если \(n = 10\):

   • \(AB = 10\)
   • \(CD = 11\)
   • Число \(N = 1011\)

2. Если \(n = 62\):

   • \(AB = 62\)
   • \(CD = 63\)
   • Число \(N = 6263\)

Таким образом, подходящие варианты четырёхзначного числа, которое мог записать Артём:

1011 и 6263.