Имеется 10 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики так, что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл абы разницу между количеством шаров разных цветов в каждой коробке (если они не равны, то из большего вычел меньшее). Эти числа он написал на коробках. Оказалось, что было написано 10 разных чисел. Какое минимальное количество шариков может лежать суммарно во всех коробках?

Чтобы решить задачу, начнем с того, что в каждой из 10 коробок содержатся синие и красные шарики, и в каждой коробке хотя бы один шарик каждого цвета. Обозначим количество синих шариков в i-й коробке как \( b_i \), а количество красных шариков как \( r_i \). Разница между количеством шариков разных цветов в i-й коробке равняется \( |b_i - r_i| \).

Для каждой коробки будем записывать эту разницу, которая должна быть уникальной для каждой из 10 коробок. Это значит, что разницы должны принимать значения от 1 до 10 (поскольку максимальная разница возможна 9, когда одна из коробок содержит 1 шарик одного цвета, а 10 — другого).

Чтобы разница в каждой коробке была уникальной и равнялась 1, 2, ..., 10, достаточно записать их следующим образом:

1. Для первой коробки пусть будет \( b_1 = 2 \) и \( r_1 = 1 \). Тогда разница \( |b_1 - r_1| = |2 - 1| = 1 \).
2. Для второй коробки пусть будет \( b_2 = 3 \) и \( r_2 = 1 \). Разница \( |b_2 - r_2| = |3 - 1| = 2 \).
3. Для третьей коробки пусть будет \( b_3 = 4 \) и \( r_3 = 1 \). Разница \( |b_3 - r_3| = |4 - 1| = 3 \).
4. Для четвертой коробки пусть будет \( b_4 = 5 \) и \( r_4 = 1 \). Разница \( |b_4 - r_4| = |5 - 1| = 4 \).
5. Для пятой коробки пусть будет \( b_5 = 6 \) и \( r_5 = 1 \). Разница \( |b_5 - r_5| = |6 - 1| = 5 \).
6. Для шестой коробки пусть будет \( b_6 = 7 \) и \( r_6 = 1 \). Разница \( |b_6 - r_6| = |7 - 1| = 6 \).
7. Для седьмой коробки пусть будет \( b_7 = 8 \) и \( r_7 = 1 \). Разница \( |b_7 - r_7| = |8 - 1| = 7 \).
8. Для восьмой коробки пусть будет \( b_8 = 9 \) и \( r_8 = 1 \). Разница \( |b_8 - r_8| = |9 - 1| = 8 \).
9. Для девятой коробки пусть будет \( b_9 = 10 \) и \( r_9 = 1 \). Разница \( |b_9 - r_9| = |10 - 1| = 9 \).
10. Для десятой коробки пусть будет \( b_{10} = 1 \) и \( r_{10} = 1 \). Разница \( |b_{10} - r_{10}| = |1 - 1| = 0 \). Тут, однако, один шарик может быть красным, другой синим, чтобы соблюсти условие присутствия хотя бы одного шарика каждого цвета.

Теперь подсчитаем общее количество шариков:

• В каждой коробке у нас получится по 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, и на последней — 2 шарика (1 красный и 1 синий).
• Таким образом, общее количество шариков: \( 3 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 2 = 57 \).

Тем самым, минимальное количество шариков, которое может быть в 10 коробках, составляет 57.