Три круга радиусами 3,6 и 9 попарно касаются друг друга внешним образом. Круги радиусом 3 и радиусом 6 касаются в точке А, а круги радиусом 6 и радиусом 9- в точке В. Найдите расстояние АВ, умноженное на корень 5.

Question 1

Задача Задача №1892379

А

Аноним

17 октября 2024 04:14 · публичный вопрос

А

Аноним 17 октября 2024 04:14

Три круга радиусами 3,6 и 9 попарно касаются друг друга внешним образом. Круги радиусом 3 и радиусом 6 касаются в точке А, а круги радиусом 6 и радиусом 9- в точке В. Найдите расстояние АВ, умноженное на корень 5.

Answer

Рассмотрим три круга радиусами \( r_1 = 3 \), \( r_2 = 6 \), \( r_3 = 9 \). Эти круги касаются друг друга внешним образом.

Расставим круги на координатной плоскости:
- Круг с радиусом 3 разместим в начале координат, т.е. его центр будет в точке \( O_1(0, 0) \).
- Круг с радиусом 6 разместим так, чтобы он касался первого круга. Центр его будет находиться на расстоянии \( r_1 + r_2 = 3 + 6 = 9 \) от центра первого круга. Пусть это будет точка \( O_2(9, 0) \).
- Круг с радиусом 9 будет также касаться обоих кругов. Его центр будет находиться на расстоянии \( r_2 + r_3 = 6 + 9 = 15 \) от центра второго круга \( O_2 \).

Теперь определим положение центра третьего круга. Он будет находиться от \( O_2(9, 0) \) на расстоянии \( 15 \).

Чтобы найти координаты точки \( O_3 \), нужно провести окружность радиуса \( 15 \) от \( O_2 \):

\[ (x - 9)^2 + y^2 = 15^2 \]

Кроме того, центр \( O_3 \) будет находиться на расстоянии \( 12 \) от центра первого круга \( O_1 \) (так как \( r_1 + r_3 = 3 + 9 = 12 \)): \[ x^2 + y^2 = 12^2 \]

Теперь у нас есть две системы уравнений, которые мы можем решить.

Раскроем первое уравнение:

\[ x^2 - 18x + 81 + y^2 = 225 \implies x^2 + y^2 - 18x + 81 - 225 = 0 \implies x^2 + y^2 - 18x - 144 = 0 \]

Теперь поменяем второе уравнение:

\[ x^2 + y^2 = 144 \]

Приравняем обе части:

\[ 144 - 18x - 144 = 0 \implies -18x = 0 \implies x = 0 \]

Подставим \( x = 0 \) в любое из уравнений (например, во второе):

\[ 0^2 + y^2 = 144 \implies y^2 = 144 \implies y = 12 \text{ или } y = -12 \]

Таким образом, координаты точки \( O_3 \) могут быть \( (0, 12) \) или \( (0, -12) \). Для упрощения возьмем \( O_3(0, 12) \).

Найдем точки касания:

Точка касания кругов радиусов 3 и 6 (точка A) будет находиться на линии, соединяющей центры \( O_1(0, 0) \) и \( O_2(9, 0) \), т.е. она располагается на оси OX, и её координаты будут \( A(3, 0) \) (так как точка A будет находиться на расстоянии \( r_1 = 3 \) от центра первого круга).
Точка касания кругов радиусов 6 и 9 (точка B) будет находиться на линии, соединяющей \( O_2(9, 0) \) и \( O_3(0, 12) \). Чтобы найти координаты точки \( B \), нужно использовать расчет расстояния. Поскольку центр \( O_2 \) находится на оси OX, а центр \( O_3 \) находится на оси OY, точка B будет находиться на окружности радиуса \( r_3 = 9 \), что также можно формализовать.

Расстояние \( AB \):

\[ AB = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 12)^2} = \sqrt{9 + 144} = \sqrt{153} \]

Теперь нужно умножить расстояние на \( \sqrt{5} \):

\[ AB \cdot \sqrt{5} = \sqrt{153} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{765} \]

Таким образом, ответ \( \sqrt{765} \).

Question 2

Три круга радиусами 3,6 и 9 попарно касаются друг друга внешним образом. Круги радиусом 3 и радиусом 6 касаются в точке А, а круги радиусом 6 и радиусом 9- в точке В. Найдите расстояние АВ, умноженное на корень 5.

Answer

Рассмотрим три круга радиусами \( r_1 = 3 \), \( r_2 = 6 \), \( r_3 = 9 \). Эти круги касаются друг друга внешним образом. 1. Расставим круги на координатной плоскости: - Круг с радиусом 3 разместим в начале координат, т.е. его центр будет в точке \( O_1(0, 0) \). - Круг с радиусом 6 разместим так, чтобы он касался первого круга. Центр его будет находиться на расстоянии \( r_1 + r_2 = 3 + 6 = 9 \) от центра первого круга. Пусть это будет точка \( O_2(9, 0) \). - Круг с радиусом 9 будет также касаться обоих кругов. Его центр будет находиться на расстоянии \( r_2 + r_3 = 6 + 9 = 15 \) от центра второго круга \( O_2 \). Теперь определим положение центра третьего круга. Он будет находиться от \( O_2(9, 0) \) на расстоянии \( 15 \). Чтобы найти координаты точки \( O_3 \), нужно провести окружность радиуса \( 15 \) от \( O_2 \): \[ (x - 9)^2 + y^2 = 15^2 \] Кроме того, центр \( O_3 \) будет находиться на расстоянии \( 12 \) от центра первого круга \( O_1 \) (так как \( r_1 + r_3 = 3 + 9 = 12 \)): \[ x^2 + y^2 = 12^2 \] Теперь у нас есть две системы уравнений, которые мы можем решить. Раскроем первое уравнение: \[ x^2 - 18x + 81 + y^2 = 225 \implies x^2 + y^2 - 18x + 81 - 225 = 0 \implies x^2 + y^2 - 18x - 144 = 0 \] Теперь поменяем второе уравнение: \[ x^2 + y^2 = 144 \] Приравняем обе части: \[ 144 - 18x - 144 = 0 \implies -18x = 0 \implies x = 0 \] Подставим \( x = 0 \) в любое из уравнений (например, во второе): \[ 0^2 + y^2 = 144 \implies y^2 = 144 \implies y = 12 \text{ или } y = -12 \] Таким образом, координаты точки \( O_3 \) могут быть \( (0, 12) \) или \( (0, -12) \). Для упрощения возьмем \( O_3(0, 12) \). Найдем точки касания: - Точка касания кругов радиусов 3 и 6 (точка A) будет находиться на линии, соединяющей центры \( O_1(0, 0) \) и \( O_2(9, 0) \), т.е. она располагается на оси OX, и её координаты будут \( A(3, 0) \) (так как точка A будет находиться на расстоянии \( r_1 = 3 \) от центра первого круга). - Точка касания кругов радиусов 6 и 9 (точка B) будет находиться на линии, соединяющей \( O_2(9, 0) \) и \( O_3(0, 12) \). Чтобы найти координаты точки \( B \), нужно использовать расчет расстояния. Поскольку центр \( O_2 \) находится на оси OX, а центр \( O_3 \) находится на оси OY, точка B будет находиться на окружности радиуса \( r_3 = 9 \), что также можно формализовать. Расстояние \( AB \): \[ AB = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 12)^2} = \sqrt{9 + 144} = \sqrt{153} \] Теперь нужно умножить расстояние на \( \sqrt{5} \): \[ AB \cdot \sqrt{5} = \sqrt{153} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{765} \] Таким образом, ответ \( \sqrt{765} \).