2cos²x-3cos x +1=0

Чтобы решить уравнение \( 2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0 \), можно воспользоваться заменой переменной. Обозначим \( y = \cos x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 2y^2 - 3y + 1 = 0. \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac, \]

где \( a = 2 \), \( b = -3 \), и \( c = 1 \). Подставим эти значения:

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1. \]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных решения. Находим корни:

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{4} = 1, \] \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}. \]

Теперь возвращаемся к оригинальной переменной \( \cos x \):

1. \( \cos x = 1 \)

Решение \( \cos x = 1 \) происходит, когда \( x = 2k\pi \), где \( k \) — любое целое число.

2. \( \cos x = \frac{1}{2} \)

Решение \( \cos x = \frac{1}{2} \) происходит, когда \( x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) или \( x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \) (или, используя положительные углы, \( x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \)).

Таким образом, обобщенные решения данного уравнения будут:

\[ x = 2k\pi, \quad x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, \]

где \( k \) — любое целое число.