В летнем лагере 25 детей. В первый день мальчики пошли в кино, а девочки - в бассейн. Во второй день все девочки пошли в кино, а мальчики - наоборот, в бассейн. Оказалось, что в первый день за все виды досуга было заплачет на 1111 рублей больше, чем во второй день. Известно, что посещение бассейна дороже, чем билет в кино Сколько в лагере мальчиков?
Давайте разберем ситуацию шаг за шагом.
Обозначим количество мальчиков в лагере как \( x \), а количество девочек как \( y \). Из условия мы знаем, что всего детей в лагере 25, значит:
\[ x + y = 25 \]
Теперь рассмотрим расходы на досуг. Пусть стоимость билета в кино равна \( K \), а стоимость посещения бассейна равна \( B \), причем известна информация, что \( B > K \).
- В первый день мальчики пошли в кино, значит потратили:
\[ x \cdot K \]
Девочки в этот день были в бассейне:
\[ y \cdot B \]
Общие расходы первого дня:
\[ S_1 = x \cdot K + y \cdot B \]
- На второй день ситуация меняется: все девочки идут в кино, а мальчики в бассейн. Поэтому расходы второго дня будут:
\[ S_2 = y \cdot K + x \cdot B \]
Согласно условию задачи, первый день стоил на 1111 рублей дороже, чем второй. Это можно записать в виде уравнения:
\[ S_1 = S_2 + 1111 \]
Подставим значения:
\[ x \cdot K + y \cdot B = y \cdot K + x \cdot B + 1111 \]
Теперь давайте упорядочим это уравнение:
\[ x \cdot K + y \cdot B - y \cdot K - x \cdot B = 1111 \]
Сгруппируем похожие члены:
\[ x \cdot K - x \cdot B + y \cdot B - y \cdot K = 1111 \]
Формула упрощается до:
\[ x \cdot (K - B) + y \cdot (B - K) = 1111 \]
Можно вынести общий множитель \( (K - B) \):
\[ (x - y) \cdot (K - B) = 1111 \]
Так как \( B > K \), значит \( K - B < 0 \), и \( (K - B) \) отрицательное, что приводит к тому, что \( x - y \) должно быть отрицательным, то есть \( x < y \).
Теперь используем уравнение \( x + y = 25 \). Мы можем выразить \( y \) через \( x \):
\[ y = 25 - x \]
Подставляем это в уравнение:
\[ (x - (25 - x)) \cdot (K - B) = 1111 \]
Упрощая, получаем:
\[ (2x - 25) \cdot (K - B) = 1111 \]
Теперь, чтобы \( 2x - 25 \) было положительным (так как \( K - B \) отрицательное, то число, умножаемое на него, должно быть отрицательным, чтобы в итоге был положительный результат), надо, чтобы:
\[ 2x - 25 < 0 \] \[ 2x < 25 \] \[ x < 12.5 \]
Поскольку \( x \) должно быть целым числом, допустимые значения \( x \) могут быть от 0 до 12.
Теперь используя информацию \( x < y \), то \( x \leq 12 \) и \( y \geq 13 \).
Осматривая диапазоны, мы можем подбирать значения для \( x \):
- Если \( x = 12 \), то \( y = 25 - 12 = 13 \).
- Если \( x = 11 \), то \( y = 25 - 11 = 14 \).
- Если \( x = 10 \), то \( y = 25 - 10 = 15 \).
- И так далее до \( x = 0 \).
Так, максимальное число мальчиков, при уже данном условии, составляет 12.
Тогда ответ: в лагере 12 мальчиков.
