На Марсе принято давать детям двойные имена. Имена не должны повторяться и должны идти алфавитном порядке. Так, например, имя Астра Вега допустимо, а Астра Астра и Вега Астра – нет. В некоторой компании среди любых пяти людей есть хотя бы одна Астра, а среди любых четверых – хотя бы одна Вега. Полных тëзок, совпадающих по обоим именам, нет. Какое наибольшее количество человек может быть в компании?

Чтобы решить эту задачу, давайте проанализируем условия.

1. В компании среди любых пяти людей есть хотя бы одна Астра. Это означает, что если мы возьмем любые пять человек, то как минимум один из них должен носить имя Астра.
2. В компании среди любых четырех человек есть хотя бы одна Вега. Это значит, что среди любых четырех человек есть как минимум один с именем Вега.

Также известно, что полных тезок, т.е. людей с одинаковыми двойными именами, нет.

Теперь давайте попробуем определить сочетания имен, которые могут соответствовать этим условиям.

Пусть в компании есть \( n \) человек. Обозначим:

• кол-во людей с именем Астра как \( a \)
• кол-во людей с именем Вега как \( b \)

Из условия о наличии хотя бы одной Астры в любой выборке из пяти человек, можно установить, что:

• \( a \geq n - 4 \) (так как если \( n \) больше, чем \( 4 \), то в оставшихся \( n-4 \) людях не может быть Астры)

А по условию о Веге:

• \( b \geq n - 3 \) (и аналогично, чтобы в любой выборке из четырех человек была Вега)

Суммируя данные неравенства:

1. \( a \geq n - 4 \)
2. \( b \geq n - 3 \)

Предположим, что \( n \) максимально. Для этого будем подбирать варианты объединений \( a \) и \( b \):

Если взять, к примеру, \( n = 7 \):

• Тогда \( a \geq 7 - 4 = 3 \) (то есть минимум 3 человека с именем Астра)
• И \( b \geq 7 - 3 = 4 \) (то есть минимум 4 человека с именем Вега)

Таким образом, возможно иметь 3 Астры и 4 Веги. Это соответствует всем условиям. Но давайте проверим, можно ли увеличить \( n \):

Если \( n = 8 \):

• \( a \geq 8 - 4 = 4 \)
• \( b \geq 8 - 3 = 5 \)

Это означает, что нам нужно 4 Астры и 5 Вег. Однако, чтобы угодить требованиям о полной уникальности имен (двойных имен), у нас не будет достаточного объема для уникальных имен среди 8, так как должна быть полная комбинация (например, Астра 1, Астра 2 и Вега 1, Вега 2 и так далее).

Таким образом, максимальное разумное число, которое удовлетворяет всем условиям, не может превышать 7.

Таким образом, наибольшее количество человек, которое может быть в компании с данными условиями, составляет 7.