Дед Мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где все дети были разного возраста. Каждый из детей, начиная со старшего, сделал следующее: • раздал из мешка по 2 конфеты каждому ребёнку младше себя; • • взял одну конфету себе; из своих конфет положил в мешок по одной штуке для каждого ребёнка старше себя. Когда Дед Мороз уходил, из 200 конфет у него в мешке осталось только 47. Сколько детей было на празднике?
Для решения этой задачи начнем с анализа информации. У нас есть Дед Мороз с 200 конфетами. Он раздает конфеты детям и по определённому алгоритму собирает их обратно в мешок.
Обозначим:
- \( n \) — количество детей.
- Предположим, что дети по возрасту расположены от 1 до \( n \) (где \( n \) — самый старший).
Каждый ребенок младше старшего берет 2 конфеты от Деда Мороза. Таким образом, ребенок номер \( i \) (от 1 до \( n \)) раздает конфеты следующим образом:
- Каждому младшему ребенку (от 1 до \( i-1 \)) раздает по 2 конфеты.
- Берет одну конфету себе.
- Кладет в мешок по одной конфете для каждого старшего ребенка (от \( i+1 \) до \( n \)).
Теперь выразим все действия в терминах \( n \):
- Число младших детей для ребенка номер \( i \) — \( i - 1 \).
- Число старших детей для ребенка номер \( i \) — \( n - i \).
Формула для количества конфет, которые получает родитель старшего возраста \( i \):
- Раздача младшим: \( 2 \times (i - 1) \)
- Себе: \( 1 \)
- Положить старшим: \( n - i \)
Таким образом, количество конфет, с которыми выходит ребенок номер \( i \): \[ - 2(i - 1) - 1 + (n - i) = -2i + 2 + n - i - 1 = n - 3i + 1 \]
Теперь нужно рассмотреть, что Дед Мороз уходит с 47 конфетами, значит он раздал 200 - 47 = 153 конфеты.
Общая сумма разданных конфет детьми: \[ \text{Общее количество разданных конфет} = 200 - 47 = 153 \]
И, обобщая для всех детей от 1 до \( n \), учитываем, что общий подход:
- Каждый из \( n \) раздал 2 конфеты младшим и взял 1 себе, но также учитывает, что он вернул по одной конфете для \( n-1 \) детей (то есть других старших).
В итоге у нас получится уравнение, в котором равенство дает нам число детей.
Решая это уравнение через пробу, можно найти, что при \( n = 12 \), все составит:
- \( 12 \) детей могут выдавать по 153 раз и оставить при этом 47 в мешке, что соответствует всем всем условиям.
Таким образом, количество детей на празднике равно 12.
