Обозначим новую математическую операцию ab=(a−1)(b+1). Известно, что ab=30, а b a=40. Чему может быть равно a+b? Укажите все возможные варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Question 1

Задача Задача №1892495

А

Аноним

17 октября 2024 04:22 · публичный вопрос

А

Аноним 17 октября 2024 04:22

Обозначим новую математическую операцию ab=(a−1)(b+1). Известно, что ab=30, а b a=40. Чему может быть равно a+b? Укажите все возможные варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Answer

Давайте начнем с предоставленных уравнений, используя новую операцию \( a*b = (a-1)(b+1) \) и \( b*a = (b-1)(a+1) \).

Из условия мы имеем:

\( (a-1)(b+1) = 30 \) (1)
\( (b-1)(a+1) = 40 \) (2)

Теперь давайте выразим каждое из уравнений и попробуем найти значения \( a \) и \( b \).

Из уравнения (1): \[ (a-1)(b+1) = 30 \]

Из уравнения (2): \[ (b-1)(a+1) = 40 \]

Мы можем выразить \( b \) из первого уравнения. Пусть \( x = a - 1 \) и \( y = b + 1 \). Таким образом, у нас есть: \[ xy = 30 \]

Также из второго уравнения можно выразить \( a \): \[ (b-1)(a+1) = 40 \] Заменим \( a \) на \( x + 1 \) и \( b \) на \( y - 1 \): \[ ((y - 2)(x + 2) = 40 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\( xy = 30 \)
\( (y - 2)(x + 2) = 40 \)

Решим первую часть:

Найдем пары \( (x, y) \), которые удовлетворяют \( xy = 30 \):
- (1, 30)
- (2, 15)
- (3, 10)
- (5, 6)
- (6, 5)
- (10, 3)
- (15, 2)
- (30, 1)

Теперь подставим эти пары во второе уравнение и проверим, удовлетворяют ли они ему.

Например, возьмем пару \( (5, 6) \): \[ (6 - 2)(5 + 2) = 4 \cdot 7 = 28 \quad \text{(не подходит)} \]

Следующая пара \( (3, 10) \): \[ (10 - 2)(3 + 2) = 8 \cdot 5 = 40 \quad \text{(подходит)} \]

Теперь у нас \( x = 3 \) и \( y = 10 \), что дает: \[ a = x + 1 = 3 + 1 = 4 \] \[ b = y - 1 = 10 - 1 = 9 \]

Проверяем, что \( a + b = 4 + 9 = 13 \).

Теперь проверим другие пары:

\( (2, 15) \): \[ (15 - 2)(2 + 2) = 13 \cdot 4 = 52 \quad \text{(не подходит)} \]
\( (1, 30) \): \[ (30 - 2)(1 + 2) = 28 \cdot 3 = 84 \quad \text{(не подходит)} \]

Попробуем выяснить все возможные суммы \( a + b \):

\( (15, 2) \): \[ (2 - 2)(15 + 2) = 0 \quad \text{(не подходит)} \]

Пока мы нашли только одно решение:

\( a = 4, b = 9 \): \( a + b = 13 \)

В итоге, все возможные варианты для \( a + b \):

13

Таким образом, окончательный ответ: \[ \begin{align*} 13 \\ \end{align*} \]

Question 2

Обозначим новую математическую операцию a*b=(a−1)(b+1). Известно, что a*b=30, а b a=40. Чему может быть равно a+b? Укажите все возможные варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Answer

Давайте начнем с предоставленных уравнений, используя новую операцию \( a*b = (a-1)(b+1) \) и \( b*a = (b-1)(a+1) \). Из условия мы имеем: 1. \( (a-1)(b+1) = 30 \) (1) 2. \( (b-1)(a+1) = 40 \) (2) Теперь давайте выразим каждое из уравнений и попробуем найти значения \( a \) и \( b \). Из уравнения (1): \[ (a-1)(b+1) = 30 \] Из уравнения (2): \[ (b-1)(a+1) = 40 \] Мы можем выразить \( b \) из первого уравнения. Пусть \( x = a - 1 \) и \( y = b + 1 \). Таким образом, у нас есть: \[ xy = 30 \] Также из второго уравнения можно выразить \( a \): \[ (b-1)(a+1) = 40 \] Заменим \( a \) на \( x + 1 \) и \( b \) на \( y - 1 \): \[ ((y - 2)(x + 2) = 40 \] Теперь у нас есть система уравнений: 1. \( xy = 30 \) 2. \( (y - 2)(x + 2) = 40 \) Решим первую часть: 1. Найдем пары \( (x, y) \), которые удовлетворяют \( xy = 30 \): - (1, 30) - (2, 15) - (3, 10) - (5, 6) - (6, 5) - (10, 3) - (15, 2) - (30, 1) Теперь подставим эти пары во второе уравнение и проверим, удовлетворяют ли они ему. Например, возьмем пару \( (5, 6) \): \[ (6 - 2)(5 + 2) = 4 \cdot 7 = 28 \quad \text{(не подходит)} \] Следующая пара \( (3, 10) \): \[ (10 - 2)(3 + 2) = 8 \cdot 5 = 40 \quad \text{(подходит)} \] Теперь у нас \( x = 3 \) и \( y = 10 \), что дает: \[ a = x + 1 = 3 + 1 = 4 \] \[ b = y - 1 = 10 - 1 = 9 \] Проверяем, что \( a + b = 4 + 9 = 13 \). Теперь проверим другие пары: - \( (2, 15) \): \[ (15 - 2)(2 + 2) = 13 \cdot 4 = 52 \quad \text{(не подходит)} \] - \( (1, 30) \): \[ (30 - 2)(1 + 2) = 28 \cdot 3 = 84 \quad \text{(не подходит)} \] Попробуем выяснить все возможные суммы \( a + b \): - \( (15, 2) \): \[ (2 - 2)(15 + 2) = 0 \quad \text{(не подходит)} \] Пока мы нашли только одно решение: - \( a = 4, b = 9 \): \( a + b = 13 \) В итоге, все возможные варианты для \( a + b \): - 13 Таким образом, окончательный ответ: \[ \begin{align*} 13 \\ \end{align*} \]