Три круга радиусом 2, 4 и 6 попарно касаются друг друга внешним образом. Круги радиусом 2 и радиусом 4 касаются в точке A, а круги радиусом 4 и радиусом 6-в точке B. Найдите расстояние AB, умноженное на корень из 5

Для решения задачи нам нужно определить расстояние между точками касания двух пар кругов и затем умножить полученное значение на квадратный корень из 5.

1. Обозначим радиусы кругов:

   • \( r_1 = 2 \) (круг 1)
   • \( r_2 = 4 \) (круг 2)
   • \( r_3 = 6 \) (круг 3)

2. Круги 1 и 2 касаются в точке A, а круги 2 и 3 — в точке B. Поскольку круги касаются внешним образом, расстояния между их центрами равны сумме их радиусов.

3. Обозначим центры кругов:

   • \( O_1 \) для круга радиусом 2
   • \( O_2 \) для круга радиусом 4
   • \( O_3 \) для круга радиусом 6

4. Расстояние между центрами \( O_1 \) и \( O_2 \): \[ O_1 O_2 = r_1 + r_2 = 2 + 4 = 6 \]

5. Расстояние между центрами \( O_2 \) и \( O_3 \): \[ O_2 O_3 = r_2 + r_3 = 4 + 6 = 10 \]

6. Теперь, чтобы найти расстояние AB, нужно учитывать, что точки A и B находятся в разных местах. Мы можем построить прямоугольный треугольник, в котором одна катета будет равен расстоянию между центрами \( O_1 O_3 \), а другой катет — расстояние от центра \( O_2 \) до линии, соединяющей точки A и B.

7. Нам нужно вычислить расстояние между кругами 1 и 3. Расстояние между их центрами: \[ O_1 O_3 = r_1 + r_2 + r_3 = r_1 + (r_2 + r_3) = 2 + 10 = 12 \]

8. У нас получается треугольник с известными сторонами. Чтобы найти \( AB \), можем воспользоваться теоремой Пифагора для нашего треугольника: \[ AB = \sqrt{(O_1 O_2)^2 + (O_2 O_3)^2} = \sqrt{6^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34} \]

9. Теперь умножим это расстояние на корень из 5: \[ AB \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{34} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{170} \]

Таким образом, расстояние AB, умноженное на корень из 5, равно \( 2\sqrt{170} \).