В выборах главы школьного совета приняло участие 550 учеников старшей и средней школы. Было выдвинуто всего 2 кандидата - Антон и Борис, причём для победы было достаточно набрать…

Давайте определим, сколько учеников проголосовало, а также сколько голосов за каждого кандидата.

1. Всего участвовало 550 учеников, значит для победы нужно набрать больше половины голосов: \[ \frac{550}{2} = 275 \] Для победы нужно не менее 276 голосов.

2. Пусть \( x \) — это число подсчитанных бюллетеней. Надо учесть, что 12 % из них недействительные: \[ 0,12x \text{ — это недействительные голоса} \] Остальные 88 % считаются действительными: \[ 0,88x \text{ — это действительные голоса} \]

3. Из действительных голосов 70 % было за Антона, а 30 % — за Бориса: \[ \text{Голоса за Антона} = 0,7 \cdot 0,88x = 0,616x \] \[ \text{Голоса за Бориса} = 0,3 \cdot 0,88x = 0,264x \]

4. Антон, чтобы был уверен в победе, должен был набрать хотя бы 276 голосов: \[ 0,616x \geq 276 \]

5. Найдем, какое минимальное значение \( x \) удовлетворяет этому неравенству: \[ x \geq \frac{276}{0,616} \] \[ x \geq 448.387 \]

Поскольку \( x \) – это количество подсчитанных бюллетеней и должно быть целым числом, минимально допустимое значение: \[ x = 449 \]

6. Теперь проверим, сколько недействительных бюллетеней и сколько голосов за Антона будет при \( x = 449 \): \[ \text{Недействительные голоса} = 0,12 \cdot 449 \approx 53.88 \text{ (округляем до 54)} \] \[ \text{Действительные голоса} = 0,88 \cdot 449 \approx 394.12 \text{ (округляем до 394)} \] \[ \text{Голоса за Антона} = 0,7 \cdot 394 \approx 275.8 \text{ (округляем до 276)} \]

Таким образом, Антон действительно смог бы набрать 276 голосов, что дает ему уверенность в победе.

7. Убедимся, что количество недействительных бюллетеней также верно: \[ 449 - 394 - 54 = 1 \] (это недействительные).

С учётом всех расчетов и требований, наименьшее количество бюллетеней, которое могло быть подсчитано на момент, когда Антон понял, что у него есть половина голосов (и больше), равно 449.