Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см а угол между ними 60° найдите третью сторону треугольника и его площадь
Для решения задачи сначала найдем третью сторону треугольника, используя закон косинусов. Закон косинусов гласит:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) \]
где:
- \( c \) — искомая сторона,
- \( a \) и \( b \) — известные стороны (в данном случае 6 см и 8 см),
- \( \gamma \) — угол между ними (60°).
Подставим известные значения:
- \( a = 6 \, \text{см} \)
- \( b = 8 \, \text{см} \)
- \( \gamma = 60° \)
Сначала найдем \( \cos(60°) \):
\[ \cos(60°) = 0.5 \]
Теперь подставим все значения в формулу:
\[ c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 0.5 \]
Вычислим:
\[ c^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 0.5 \] \[ c^2 = 36 + 64 - 48 \] \[ c^2 = 52 \] \[ c = \sqrt{52} \] \[ c = 2\sqrt{13} \approx 7.21 \, \text{см} \]
Теперь найдем площадь треугольника. Для этого используем формулу:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma) \]
Где \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Подставим известные значения:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = 12\sqrt{3} \, \text{см}^2 \approx 20.78 \, \text{см}^2 \]
Таким образом, третья сторона треугольника составляет приблизительно \( 7.21 \, \text{см} \), а площадь — \( 12\sqrt{3} \, \text{см}^2 \) (или примерно \( 20.78 \, \text{см}^2 \)).
