1212:41 № 5 Дед Мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где все дети были разного возраста. Каждый из детей, начиная со старшего, сделал следующее: •раздал из мешка по 2 конфеты…
1212:41 № 5 Дед Мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где все дети были разного возраста. Каждый из детей, начиная со старшего, сделал следующее: •раздал из мешка по 2 конфеты каждому ребёнку младше себя; взял одну конфету себе; из своих конфет положил в мешок по одной штуке для каждого ребёнка старше себя. Когда Дед Мороз уходил, из 200 конфет у него в мешке осталось только 80. Сколько детей было на празднике? Число Олимпиады и тест… uts. sirius.online
Давайте разберёмся с этой задачей шаг за шагом.
- Обозначим количество детей на празднике как \( n \).
- Пусть старший ребенок \( k \)-й, тогда он раздаёт по 2 конфеты каждому из \( k-1 \) детей младше себя. Это значит, что он раздаст \( 2 \cdot (k-1) \) конфет.
- После этого он берёт одну конфету себе, то есть добавляет к своему счету 1.
- Он кладёт по одной конфете в мешок для каждого из детей старше себя, которых у нас \( n - k \). Это значит, что он кладёт в мешок \( n - k \) конфет.
- Таким образом, у нас есть следующие изменения в количестве конфет у Деда Мороза:
- Из мешка: у него было 200, потом он раздаёт \( 2(k-1) \) и добавляет в мешок \( n - k \).
Итак, можно записать уравнение для количества конфет:
\[ 200 - 2(k-1) - 1 + (n - k) = 80 \]
Упростим это уравнение:
\[ 200 - 2k + 2 - 1 + n - k = 80 \] \[ 201 - 3k + n = 80 \] \[ n - 3k = 80 - 201 \] \[ n - 3k = -121 \quad (1) \]
Теперь давайте рассмотрим, сколько конфет уходит у Деда Мороза, если мы продолжаем повторять этот процесс для всех детей. По аналогии, можно заметить, что итоговое количество конфет, оставшееся в мешке, его раздачи и действия равномерно распределяются.
Взамен можно заметить, что, в процессе раздачи конфет, каждая конфета, которую Дед Мороз раздаёт, приводит к уменьшению общего количества в мешке. Если каждый из \( n \) детей, начиная с старшего, делает одно и то же:
- У каждого ребенка младше \( k \) по 2 конфеты.
- Каждому ребенку старше \( k \) по 1 конфете в мешок.
Подставляя результат, мы получаем ситуацию, в которой у нас останется 80 конфет.
Из условия следует, что изменение количества конфет можно выразить через общее число детей.
Мы знаем, что конечный счет соответствует отношению \( n = 3k - 121 \).
Чтобы получить число детей, нам нужно проследить все значения k и соответственно n. Попробуем вычислить подсчет, подставляя множители, и найдем такие, которые будут положительными целыми числами.
При проверке:
Если \( k = 60 \):
\[ n = 3 \cdot 60 - 121 = 180 - 121 = 59 \quad (59 \text{ детей}) \]
Таким образом, на празднике было \( 59 \) детей.
