В летнем лагере 25 детей. В первый день мальчики пошли в кино, а девочки — в бассейн. Во второй день все девочки пошли в кино, а мальчики — наоборот, в бассейн. Оказалось, что в…
В летнем лагере 25 детей. В первый день мальчики пошли в кино, а девочки — в бассейн. Во второй день все девочки пошли в кино, а мальчики — наоборот, в бассейн. Оказалось, что в первый день за все виды досуга было заплачено на 1313 рублей больше, чем во второй день. Известно, что посещение бассейна дороже, чем билет в кино. Сколько в лагере мальчиков? Укажите все подходящие варианты.
Обозначим количество мальчиков как \( x \), тогда количество девочек будет \( 25 - x \).
Пусть цена билета в кино составляет \( k \) рублей, а цена входа в бассейн — \( b \) рублей. Из условия задачи известны следующие факты:
В первый день мальчики пошли в кино, а девочки — в бассейн: \[ \text{Стоимость первого дня} = x \cdot k + (25 - x) \cdot b \]
Во второй день девочки пошли в кино, а мальчики — в бассейн: \[ \text{Стоимость второго дня} = (25 - x) \cdot k + x \cdot b \]
По условию задачи, стоимость первого дня на 1313 рублей больше, чем второго: \[ x \cdot k + (25 - x) \cdot b = (25 - x) \cdot k + x \cdot b + 1313 \]
Упростим это уравнение: \[ x \cdot k + 25b - xb = 25k - xk + xb + 1313 \] \[ x \cdot k + 25b - xb = 25k - xk + xb + 1313 \] Переносим все в одну сторону: \[ x \cdot k + 25b - xb - 25k + xk - xb - 1313 = 0 \] \[ 2xk - 25k + 25b - 2xb - 1313 = 0 \]
Теперь, приравняем похожие термины и соберем вместе: \[ (2x - 25)k + (25 - 2x)b - 1313 = 0 \]
Теперь у нас есть уравнение, в котором \( k \) и \( b \) зависят от \( x \). Из условия «посещение бассейна дороже, чем билет в кино», следует, что \( b > k \).
Мы можем попробовать подставить целые значения для \( x \) (количество мальчиков) от 1 до 24 (так как в лагере 25 детей).
Подставим различные значения для \( x \):
- Для \( x = 10 \), \( 20 \), \( 15 \) и т.д., и проверить, удовлетворяет ли каждое значение \( (2x - 25)k + (25 - 2x)b = 1313 \).
Следует помнить, что \( b \) должно быть больше \( k \).
Пройдя через разные значения:
- Например, для \( x = 10 \): \[ (20 - 25)k + (25 - 20)b = 1313 \\ -5k + 5b = 1313 \\ b - k = 262.6 \] что не имеет целого решения.
Простая проверка показывает, что для \( x = 13 \) и \( x = 12 \):
- \( x = 12 \): \[ (24 - 25)k + (25 - 24)b = 1313 \\ -k + b = 1313 \]
- \( x = 13 \): \[ (26 - 25)k + (25 - 26)b = 1313 \\ k - b = 1313 \]
Так что подходит: \[ x = 12 \quad \text{или} \quad x = 13 \] Поэтому мальчиков в лагере может быть 12 или 13.
