Дед Мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где все дети были разного возраста. Каждый из детей, начиная со старшего, сделал следующее: раздал из мешка по 2 конфеты каждому…
Дед Мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где все дети были разного возраста. Каждый из детей, начиная со старшего, сделал следующее: раздал из мешка по 2 конфеты каждому ребёнку младше себя; взял одну конфету себе; из своих конфет положил в мешок по одной штуке для каждого ребёнка старше себя. Когда Дед Мороз уходил, из 100 конфет у него в мешке осталось только 22. Сколько детей было на п
Давайте разберёмся с задачей шаг за шагом. Пусть \( n \) — это количество детей. Обозначим детей по возрастанию их возраста: \( d_1, d_2, \ldots, d_n \), где \( d_n \) — самый старший ребёнок, а \( d_1 \) — самый младший.
Каждый ребёнок, начиная с самого старшего \( d_n \), выполняет следующие действия:
- Раздаёт по 2 конфеты каждому ребёнку младше себя. Это значит, что \( d_n \) отдаёт 2 конфеты каждому из \( (n-1) \) детей. Итого: он раздаёт \( 2 \times (n-1) \) конфет.
- Берёт 1 конфету себе.
- После этого он кладёт в мешок по одной конфете для каждого ребёнка старше себя. Так как в данном случае \( d_n \) не кладёт конфеты себе, то он ничего не добавляет в мешок.
Теперь давайте разберёмся, сколько конфет было у Деда Мороза в начале. Обозначим количество конфет в мешке в начале как \( C \). После того, как все дети раздадут конфеты, у Деда Мороза в мешке останется 22 конфеты. Мы знаем, что он начал с 100 конфет, значит он раздал \( 100 - 22 = 78 \) конфет.
Теперь, учитывая, что каждый из детей старшего возраста раздаёт 2 конфеты младшим, можем выразить количество разданных конфет через количество детей.
Самый старший ребёнок раздаёт \( 2(n-1) \) конфет, второй \( 2(n-2) \), и так далее, пока не дойдём до младшего, который не раздаёт никому. Таким образом, общее количество конфет, которое было раздали всеми детьми, можно выразить через сумму:
\[ 2 \times ( (n-1) + (n-2) + \ldots + 1 ) = 2 \times \frac{(n-1)n}{2} = (n-1)n \]
Мы приравниваем это значение к 78:
\[ (n-1)n = 78 \]
Решим это уравнение. Раскроем его:
\[ n^2 - n - 78 = 0 \]
Теперь применим формулу дискриминанта для решения квадратного уравнения:
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-78) = 1 + 312 = 313 \]
Теперь найдём корни уравнения:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{313}}{2} \]
Приблизительное значение \(\sqrt{313} \approx 17.69\). Поэтому:
\[ n \approx \frac{1 + 17.69}{2} \approx 9.34 \quad \text{или} \quad n \approx \frac{1 - 17.69}{2} \quad (\text{неподходящий корень}) \]
Округляем до ближайшего целого числа. Значит, \( n = 9 \) детей.
Итак, на празднике было 9 детей.
