Обозначим новую математическую операцию a*b=(a−1)(b+1). Известно, что a*b=24, а b a=30. Чему может быть равно a+b? Укажите все возможные варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Для начала, давайте проанализируем заданную операцию \( a*b = (a−1)(b+1) \) и \( b*a = (b−1)(a+1) \).
У нас есть две уравнения:
- \( (a−1)(b+1) = 24 \)
- \( (b−1)(a+1) = 30 \)
Теперь разложим каждое уравнение:
\( ab + a - b - 1 = 24 \) Это можно записать как \( ab + a - b = 25 \) (уравнение 1).
\( ab + b - a - 1 = 30 \) Это можно записать как \( ab + b - a = 31 \) (уравнение 2).
Теперь мы можем вычесть уравнение 1 из уравнения 2:
\[ (ab + b - a) - (ab + a - b) = 31 - 25 \]
Сокращая, получаем:
\[ b - a + b - a = 6 \implies 2b - 2a = 6 \implies b - a = 3 \implies b = a + 3 \]
Теперь, подставим \( b = a + 3 \) в одно из уравнений. Подставим его в уравнение 1:
\[ (a-1)((a+3)+1) = 24 \] \[ (a-1)(a+4) = 24 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + 4a - a - 4 = 24 \] \[ a^2 + 3a - 4 = 24 \] \[ a^2 + 3a - 28 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 \]
Дискриминант положителен, поэтому у нас два решения:
\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 11}{2} \]
Первый корень: \[ a_1 = \frac{-3 + 11}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
Второй корень: \[ a_2 = \frac{-3 - 11}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \]
Теперь найдем соответствующие значения \( b \):
Для \( a = 4 \): \[ b = 4 + 3 = 7 \]
Для \( a = -7 \): \[ b = -7 + 3 = -4 \]
Теперь вычислим сумму \( a + b \):
Для \( a = 4 \) и \( b = 7 \): \[ a + b = 4 + 7 = 11 \]
Для \( a = -7 \) и \( b = -4 \): \[ a + b = -7 - 4 = -11 \]
Таким образом, возможные значения \( a + b \):
- \( 11 \)
- \( -11 \)
Ответ: \[ 11 \] \[ -11 \]
