Три круга радиусами 2, 4 и 6 попарно касаются друг друга внешним образом. Круги радиусом 2 и радиусом 4 касаются в точке А, а круги радиусом 4 и радиусом 6 в точке В. Найдите расстояние АВ, умноженное на √5.
Для решения задачи начнем с определения положения кругов, которые касаются друг друга внешним образом. Обозначим радиусы кругов:
- Круг 1 (радиус 2): R₁ = 2
- Круг 2 (радиус 4): R₂ = 4
- Круг 3 (радиус 6): R₃ = 6
Круги касаются друг друга, следовательно, расстояние между центрами кругов равно сумме их радиусов.
Расстояние между центрами кругов радиусами 2 и 4: \[ d_{12} = R₁ + R₂ = 2 + 4 = 6 \]
Расстояние между центрами кругов радиусами 4 и 6: \[ d_{23} = R₂ + R₃ = 4 + 6 = 10 \]
Теперь зададим координаты центров кругов. Пусть:
- Центр круга радиусом 2 находится в точке \(C_1(0, 0)\).
- Центр круга радиусом 4 находится в точке \(C_2(6, 0)\) (так как расстояние между ними - 6).
- Для круга радиусом 6, его центр \(C_3\) будет находиться на линии, соединяющей \(C_2\) и \(C_3\). Расстояние между центрами \(C_2\) и \(C_3\) равно 10, поэтому:
\[ C_3 = C_2 + (10, 0) = (6 + 10, 0) = (16, 0) \]
Теперь найдем точки касания \(A\) и \(B\):
Точка касания \(A\) между кругами радиусом 2 и 4 будет на прямой, соединяющей их центры, и будет находиться на расстоянии 2 от \(C_1\) (по радиусу) и на расстоянии 4 от \(C_2\):
- \(A = (2, 0)\)
Точка касания \(B\) между кругами радиусом 4 и 6 будет находиться на расстоянии 4 от \(C_2\) и на расстоянии 6 от \(C_3\):
- \(B = (10, 0)\)
Теперь найдем расстояние \(AB\): \[ AB = |B_x - A_x| = |10 - 2| = 8 \]
Умножим это расстояние на \(\sqrt{5}\): \[ AB \cdot \sqrt{5} = 8 \cdot \sqrt{5} \]
Таким образом, окончательный ответ: \[ 8\sqrt{5} \]
