Олимпиады и тестиров № 4 На Марсе принято давать детям двойные имена. Имена не должны повторяться и должны идти в алфавитном порядке. Так, например, имя Астра Вега допустимо, а…
Олимпиады и тестиров № 4 На Марсе принято давать детям двойные имена. Имена не должны повторяться и должны идти в алфавитном порядке. Так, например, имя Астра Вега допустимо, а Астра Астра или Вега Астра - нет. В некоторой компании среди любых пяти людей есть хотя бы одна Астра, а среди любых четверых - хотя бы одна Вега. Полных тёзок, совпадающих по обоим именам, нет. Какое наибольшее количество человек может быть в компании? Ответ
В этой задаче мы будем тщательно анализировать условия и рассматривать, как можно максимизировать количество людей в компании, соблюдая правила именования.
Согласно условиям, каждый человек имеет двойное имя, и:
- Все имена идут в алфавитном порядке.
- В любой группе из пяти человек должно быть хотя бы одно имя "Астра".
- В любой группе из четырех человек должно быть хотя бы одно имя "Вега".
- Полных тёзок, совпадающих по обоим именам, нет.
Давайте обозначим имена "Астра" и "Вега" как A и V соответственно, чтобы более наглядно проанализировать ситуацию.
Анализ возможностей
- У нас не может быть двух "Астр" подряд, так как имена должны следовать в алфавитном порядке.
- Аналогично, не может быть двух "Вега" подряд.
Допустим, что в компании есть M различных "Астр" и N различных "Вега".
Для максимизации количества людей, рассмотрим намеченные условия:
- Поскольку среди любой группы из пяти человек должно быть хотя бы одна "Астра", это предполагает, что из каждых пяти человек как минимум один должен быть "Астрой". Следовательно, среди 4 людей может быть максимум 4 "Веги", но среди любых 4 человек обязательно должна быть "Астра".
- Поскольку среди любой группы из четырех человек должно быть хотя бы одна "Вега", то среди любой группы из пяти человек не может быть только "Астр".
К числовому решению
Пусть поочередно будут идти "Астра" и "Вега": тогда максимальная последовательность может выглядеть следующим образом:
- A1, V1, A2, V2, A3 (здесь A1 — первая "Астра", V1 — первая "Вега" и так далее).
Таким образом, можно построить последовательность, которая будет чередовать "Астра" и "Вега", и никакая группа не будет состоять без нужного имени, удовлетворяя условиям.
Когда мы смотрим на структуру, можно доказать, что в компании может быть 8 человек, например:
- A1, V1, A2, V2, A3, V3, A4, V4. Где:
- 4 имени "Астра" и 4 имени "Вега".
Вывод
Таким образом, максимальное количество человек в компании, при соблюдении всех условий, составляет 8.
