Артём записал на доске шестизначное число такое, что три старших и три младших разряда образуют последовательные трёхзначные числа (старший разряды образуют большее из чисел).…

Артём записал шестизначное число, в котором три старших разряда и три младших разряда образуют последовательные трёхзначные числа, причем старшие разряды образуют большее из этих чисел. Обозначим старшие три разряда как \(x\), а младшие три разряда как \(x - 1\).

Таким образом, шестизначное число можно записать в виде:

\[ N = 1000x + (x - 1) = 1001x - 1 \]

Теперь, согласно условию, это число должно делиться на 501. То есть:

\[ 1001x - 1 \equiv 0 \ (\text{mod}\ 501) \]

Упрощаем это уравнение. Начнем с нахождения \(1001 \mod 501\):

\[ 1001 = 2 \times 501 + 1 \] \[ 1001 \equiv 1 \ (\text{mod}\ 501) \]

Подставим это в уравнение:

\[ 1x - 1 \equiv 0 \ (\text{mod}\ 501) \]

Это означает, что:

\[ x - 1 \equiv 0 \ (\text{mod}\ 501) \] \[ x \equiv 1 \ (\text{mod}\ 501) \]

Следовательно, \(x\) может быть равно 1, 502, 1003 и так далее. Однако, поскольку \(x\) должен быть трёхзначным числом, рассматриваем только значение \(x = 502\).

Теперь подставим это значение обратно для получения \(N\):

\[ N = 1001 \times 502 - 1 = 502502 - 1 = 502501 \]

Давайте проверим, действительно ли 502501 делится на 501:

\[ 502501 \div 501 = 1001 \]

Таким образом, шестизначное число, которое мог записать Артём, это 502501.