Три круга радиусами 3,6 и 9 попарно касаются друг друга внешним образом. Круги радиусом 3 и радиусом 6 касаются в точке А, а круги радиусом 6 и радиусом 9- в точке В. Найдите расстояние АВ, умноженное на корень 5

Для решения задачи сначала мы обозначим радиусы кругов: \( R_1 = 3 \), \( R_2 = 6 \) и \( R_3 = 9 \). Круги касаются друг друга внешним образом, что значит, что расстояние между центрами двух кругов равно сумме их радиусов.

1. Найдем расстояния между центрами кругов:

   • Расстояние между центрами кругов радиусов 3 и 6: \[ d_{1,2} = R_1 + R_2 = 3 + 6 = 9. \]
   • Расстояние между центрами кругов радиусов 6 и 9: \[ d_{2,3} = R_2 + R_3 = 6 + 9 = 15. \]

2. Определим расположение кругов в координатной плоскости:

   • Пусть центр круга радиусом 3 находится в начале координат, т.е. в точке \( O_1(0, 0) \).
   • Тогда центр круга радиусом 6 будет находиться на расстоянии 9 от центра первого круга. Пусть это будет точка \( O_2(9, 0) \) (по оси X).
   • Центр круга радиусом 9 будет находиться на расстоянии 15 от центра круга радиусом 6. Мы можем расположить его, например, по оси Y, соответственно: \[ O_3(9, 15). \]

3. Теперь найдем точки касания:

   • Точка касания кругов радиуса 3 и 6, обозначим её \( A \), будет на линии, соединяющей их центры, в координатах \( A \) будет находиться на расстоянии \( R_1 = 3 \) от \( O_1 \): \[ A(3, 0). \]
   • Точка касания кругов радиуса 6 и 9, обозначим её \( B \), будет находиться на расстоянии \( R_2 = 6 \) от центра круга радиусом 6 в сторону круга радиусом 9. Поскольку центр \( O_3 \) находится в \( (9, 15) \), то мы можем найти \( B \):
   • Расстояние от \( O_2(9, 0) \) до \( B \) равно \( R_2 = 6 \): \[ B(9, 6). \]

4. Итак, теперь вычислим расстояние \( AB \): \[ AB = \sqrt{(B_x - A_x)^2 + (B_y - A_y)^2} = \sqrt{(9 - 3)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}. \]

5. Наконец, найдем расстояние \( AB \), умноженное на \( \sqrt{5} \): \[ AB \cdot \sqrt{5} = 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = 6\sqrt{10}. \]

Таким образом, искомое значение \( AB \times \sqrt{5} = 6\sqrt{10} \).