В прямоугольном треугольнике один из катетов меньше гипотенузы на 2 см, а другой - меньше гипотенузы на 9 см. Найдите площадь этого треугольника

В прямоугольном треугольнике один из катетов меньше гипотенузы на 2 см, а другой меньше гипотенузы на 9 см. Давайте обозначим:

• гипотенузу как \( c \),
• первый катет (меньший) как \( a = c - 2 \),
• второй катет (больший) как \( b = c - 9 \).

Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике выполняется следующее равенство: \[ a^2 + b^2 = c^2. \]

Подставим выражения для катетов: \[ (c - 2)^2 + (c - 9)^2 = c^2. \]

Раскроем скобки: \[ (c^2 - 4c + 4) + (c^2 - 18c + 81) = c^2. \] Соберем все члены: \[ 2c^2 - 22c + 85 = c^2. \] Переносим \( c^2 \) в левую часть: \[ c^2 - 22c + 85 = 0. \] Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 85 = 484 - 340 = 144. \] Теперь найдём корни уравнения: \[ c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 \pm 12}{2} = \frac{34}{2} = 17 \quad \text{или} \quad \frac{10}{2} = 5. \]

Поскольку гибпотенуза в прямоугольном треугольнике всегда больше катетов, выбираем \( c = 17 \).

Теперь найдем длины катетов: \[ a = 17 - 2 = 15 \quad \text{и} \quad b = 17 - 9 = 8. \]

Теперь можем рассчитать площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 = 60. \]

Таким образом, площадь данного прямоугольного треугольника равна \( 60 \) см².