Катер прошел против течения 8 км и вернулся обратно, затратив на обратный путь на 30 мин меньше, чем при движении против тече- ния. Определите собственную скорость катера, если скорость течения равна 4 км/ч.
Чтобы решить эту задачу, начнем с обозначения собственную скорость катера как \( v \) км/ч. Скорость течения, как указано в условии, равна 4 км/ч.
При движении против течения скорость катера будет \( v - 4 \) км/ч, а при движении по течению — \( v + 4 \) км/ч.
Время, затраченное на путь в 8 км против течения, можно рассчитать по формуле:
\[ t_1 = \frac{8}{v - 4} \]
- Время, затраченное на обратный путь по течению, будет:
\[ t_2 = \frac{8}{v + 4} \]
- По условию задачи мы знаем, что время на обратный путь на 30 минут меньше. Поскольку 30 минут — это 0.5 часа, мы можем записать уравнение:
\[ t_1 - t_2 = 0.5 \]
Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \):
\[ \frac{8}{v - 4} - \frac{8}{v + 4} = 0.5 \]
- Упростим это уравнение. Сначала найдём общий знаменатель, который будет равен \( (v - 4)(v + 4) \):
\[ 8(v + 4) - 8(v - 4) = 0.5(v - 4)(v + 4) \]
- Раскрываем скобки:
\[ 8v + 32 - 8v + 32 = 0.5(v^2 - 16) \]
Это упрощается до:
\[ 64 = 0.5(v^2 - 16) \]
- Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[ 128 = v^2 - 16 \]
- Добавим 16 к обеим сторонам:
\[ v^2 = 144 \]
- Найдем \( v \), извлекая корень:
\[ v = 12 \text{ км/ч} \]
Таким образом, собственная скорость катера составляет 12 км/ч.
