Обозначим новую математическую операцию ab=(a−1)(b+1). Известно, что ab=24, а b a=30. Чему может быть равно a+b? Укажите все возможные варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости

Question 1

Задача Задача №1893498

А

Аноним

17 октября 2024 05:38 · публичный вопрос

А

Аноним 17 октября 2024 05:38

Обозначим новую математическую операцию ab=(a−1)(b+1). Известно, что ab=24, а b a=30. Чему может быть равно a+b? Укажите все возможные варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости

Answer

Давайте разберем новую операцию, обозначенную как \( a * b = (a - 1)(b + 1) \). У нас есть два уравнения:

\( a * b = 24 \)
\( b * a = 30 \)

Теперь запишем каждое из этих уравнений с использованием нашей операции.

Из первого уравнения: \[ (a - 1)(b + 1) = 24 \]

Из второго уравнения: \[ (b - 1)(a + 1) = 30 \]

Теперь разобьем каждое из уравнений и выразим их в удобной форме:

Из первого уравнения: \[ ab + a - b - 1 = 24 \implies ab + a - b = 25 \quad (1) \]
Из второго уравнения: \[ ba + b - a - 1 = 30 \implies ab + b - a = 31 \quad (2) \]

Теперь у нас есть система уравнений (1) и (2):

\( ab + a - b = 25 \)
\( ab + b - a = 31 \)

Теперь вычтем первое уравнение из второго: \[ (ab + b - a) - (ab + a - b) = 31 - 25 \] \[ b - a + a - b = 6 \implies 2b - 2a = 6 \implies b - a = 3 \implies b = a + 3 \]

Теперь подставим \( b = a + 3 \) в одно из уравнений, например, в первое: \[ a(a + 3) + a - (a + 3) = 25 \] \[ a^2 + 3a + a - a - 3 = 25 \] \[ a^2 + 3a - 3 = 25 \implies a^2 + 3a - 28 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение: \[ a^2 + 3a - 28 = 0 \]

Для этого используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28)}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 \pm 11}{2} \]

Это дает два корня:

\( a = \frac{8}{2} = 4 \)
\( a = \frac{-14}{2} = -7 \)

Теперь найдем соответствующие значения \( b \):

Если \( a = 4 \), то \( b = 4 + 3 = 7 \).
Если \( a = -7 \), то \( b = -7 + 3 = -4 \).

Итак, мы имеем два возможных решения:

\( a = 4, b = 7 \) \(\implies a + b = 4 + 7 = 11\)
\( a = -7, b = -4 \) \(\implies a + b = -7 - 4 = -11\)

Таким образом, подходящие значения для \( a + b \) могут быть:

\( 11 \)
\( -11 \)

Пожалуйста, запишите эти результаты в отдельные поля:

\( 11 \)
\( -11 \)

Question 2

Обозначим новую математическую операцию a*b=(a−1)(b+1). Известно, что a*b=24, а b a=30. Чему может быть равно a+b? Укажите все возможные варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости

Answer

Давайте разберем новую операцию, обозначенную как \( a * b = (a - 1)(b + 1) \). У нас есть два уравнения: 1. \( a * b = 24 \) 2. \( b * a = 30 \) Теперь запишем каждое из этих уравнений с использованием нашей операции. Из первого уравнения: \[ (a - 1)(b + 1) = 24 \] Из второго уравнения: \[ (b - 1)(a + 1) = 30 \] Теперь разобьем каждое из уравнений и выразим их в удобной форме: 1) Из первого уравнения: \[ ab + a - b - 1 = 24 \implies ab + a - b = 25 \quad (1) \] 2) Из второго уравнения: \[ ba + b - a - 1 = 30 \implies ab + b - a = 31 \quad (2) \] Теперь у нас есть система уравнений (1) и (2): 1. \( ab + a - b = 25 \) 2. \( ab + b - a = 31 \) Теперь вычтем первое уравнение из второго: \[ (ab + b - a) - (ab + a - b) = 31 - 25 \] \[ b - a + a - b = 6 \implies 2b - 2a = 6 \implies b - a = 3 \implies b = a + 3 \] Теперь подставим \( b = a + 3 \) в одно из уравнений, например, в первое: \[ a(a + 3) + a - (a + 3) = 25 \] \[ a^2 + 3a + a - a - 3 = 25 \] \[ a^2 + 3a - 3 = 25 \implies a^2 + 3a - 28 = 0 \] Теперь решим квадратное уравнение: \[ a^2 + 3a - 28 = 0 \] Для этого используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28)}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 \pm 11}{2} \] Это дает два корня: 1. \( a = \frac{8}{2} = 4 \) 2. \( a = \frac{-14}{2} = -7 \) Теперь найдем соответствующие значения \( b \): 1. Если \( a = 4 \), то \( b = 4 + 3 = 7 \). 2. Если \( a = -7 \), то \( b = -7 + 3 = -4 \). Итак, мы имеем два возможных решения: 1. \( a = 4, b = 7 \) \(\implies a + b = 4 + 7 = 11\) 2. \( a = -7, b = -4 \) \(\implies a + b = -7 - 4 = -11\) Таким образом, подходящие значения для \( a + b \) могут быть: 1. \( 11 \) 2. \( -11 \) Пожалуйста, запишите эти результаты в отдельные поля: 1. \( 11 \) 2. \( -11 \)