Какой длины нужно взять математический маятник, чтобы период его колебаний был в 2 раза больше периода колебаний груза на пружине жёсткостью 20 Н/м, масса которого 250 г? (с решением)
Чтобы найти длину математического маятника, давайте сначала определим период колебаний груза на пружине и период колебаний математического маятника.
Период колебаний груза на пружине: Период колебаний пружинного осциллятора определяется формулой: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \] где:
- \( T \) — период (в секундах),
- \( m \) — масса груза (в килограммах),
- \( k \) — жёсткость пружины (в ньютонах на метр).
У нас:
- Масса \( m = 250 \, \text{г} = 0.25 \, \text{кг} \),
- Жёсткость \( k = 20 \, \text{Н/м} \).
Подставим значения в формулу: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{0.25}{20}} \]
Сначала вычислим корень: \[ \sqrt{\frac{0.25}{20}} = \sqrt{0.0125} \approx 0.1118 \]
Теперь подставим это значение в формулу для периода: \[ T \approx 2\pi \times 0.1118 \approx 0.702 \, \text{с} \]
Нам нужен период математического маятника в 2 раза больше: Следовательно, новый период: \[ T_{\text{маятника}} = 2 \cdot T \approx 2 \cdot 0.702 \approx 1.404 \, \text{с} \]
Период математического маятника определяется формулой: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \] где:
- \( L \) — длина маятника (в метрах),
- \( g \) — ускорение свободного падения (приблизительно \( 9.81 \, \text{м/с}^2 \)).
Для нахождения \( L \) можем выразить её из формулы для периода: \[ L = \frac{T^2 \cdot g}{4\pi^2} \]
Подставим известное значение \( T \): \[ L = \frac{(1.404)^2 \cdot 9.81}{4\pi^2} \]
Сначала посчитаем \( (1.404)^2 \): \[ (1.404)^2 \approx 1.968 \]
Теперь подставим это значение: \[ L \approx \frac{1.968 \cdot 9.81}{4 \cdot (3.1416)^2} \approx \frac{19.33}{39.478} \approx 0.49 \, \text{м} \]
Таким образом, длина математического маятника, чтобы его период был в 2 раза больше периода колебаний груза на пружине, составляет примерно \( 0.49 \, \text{м} \).
