В выборах главы школьного совета приняло участие 750 учеников старшей и средней школы. Было выдвинуто всего 2 кандидата -- Антон и Борис, причём для победы было достаточно набрать больше половины голосов участников. В какой-то момент Антон точно понял, что уже набрал половину голосов. В этот момент из подсчитанных бюллетеней было 4 % недействительных, а из остальных 90 % было за Антона, а 10 % - за Бориса. Какое наименьшее количество бюллетеней могло быть подсчитано к этому моменту?

Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с анализа данных.

1. У нас есть 750 учеников, которые приняли участие в голосовании.
2. Чтобы победить, кандидату нужно набрать больше половины голосов. Половина от 750 составляет 375. Следовательно, для победы Антону нужно набрать не менее 376 голосов.

Мы знаем, что в какой-то момент Антон понял, что у него ровно половина голосов. Из подсчитанных бюллетеней 4% были недействительными, а 90% из оставшихся бюллетеней были за Антона.

Обозначим количество подсчитанных бюллетеней как \( X \). Из этих бюллетеней 4% недействительные. Это означает, что 96% бюллетеней действительные, то есть:

\[ 0.96X \]

Это количество действительных бюллетеней. Из них 90% за Антона, то есть:

\[ 0.9 \cdot 0.96X = 0.864X \]

И 10% за Бориса:

\[ 0.1 \cdot 0.96X = 0.096X \]

Согласно условиям задачи, Антон в этот момент имеет половину всех голосов от общего числа участников. Отсюда следует, что:

\[ 0.864X = 376 \]

Теперь, разделим обе стороны уравнения на 0.864, чтобы найти \( X \):

\[ X = \frac{376}{0.864} \approx 435.19 \]

Поскольку количество бюллетеней должно быть целым числом, округляем до ближайшего целого числа. Проверим, если \( X = 436 \):

• Действительные бюллетени: \( 0.96 \cdot 436 \approx 418.56 \) (округляем до 419)
• Голоса за Антона: \( 0.9 \cdot 419 = 377.1 \) (что округляется до 377)
• Голоса за Бориса: \( 0.1 \cdot 419 = 41.9 \) (что округляется до 42)

Теперь проверим, соответствует ли это условию, что при \( 419 \) действительных бюллетенях за Антона должно быть не менее 376 голосов. Этот вариант не подходит.

Попробуем для \( X = 435 \):

• Действительные бюллетени: \( 0.96 \cdot 435 = 417.6 \) (округляем до 418)
• Голоса за Антона: \( 0.9 \cdot 418 = 376.2 \) (что округляется до 376)
• Голоса за Бориса: \( 0.1 \cdot 418 = 41.8 \) (что округляется до 42)

Получается, что при \( 435 \) подсчитанных бюллетенях и округлениях, Антон имеет 376 голосов, что соответствует условию.

Итак, минимальное количество бюллетеней, которое могло быть подсчитано на тот момент, составляет 435 бюллетеней.