Два стрелка делают по одному выстрелов мишень. вероятность попадания первого стрелка 0,9 второго 0,8. Составьте закон распределения x числа попадания в мишень . Найти математическое ожидание и дисперсию.

Для решения задачи о распределении числа попаданий в мишень, мы будем использовать понятие биномиального распределения, так как количество выстрелов фиксировано, а результаты независимые.

Пусть \(X\) — это количество попаданий в мишень. Мы можем рассмотреть все возможные случаи попаданий стрелков:

1. Первый стрелок попадает, второй — попадает.
2. Первый стрелок попадает, второй — не попадает.
3. Первый стрелок не попадает, второй — попадает.
4. Первый стрелок не попадает, второй — не попадает.

Вероятности для каждого случая:

1. \(P(X = 2) = P(1) \cdot P(2) = 0.9 \cdot 0.8 = 0.72\)
2. \(P(X = 1) = P(1) \cdot (1 - P(2)) + (1 - P(1)) \cdot P(2) = 0.9 \cdot 0.2 + 0.1 \cdot 0.8 = 0.18 + 0.08 = 0.26\)
3. \(P(X = 0) = (1 - P(1)) \cdot (1 - P(2)) = 0.1 \cdot 0.2 = 0.02\)

Теперь мы можем составить закон распределения \(X\):

• \(P(X = 0) = 0.02\)
• \(P(X = 1) = 0.26\)
• \(P(X = 2) = 0.72\)

Таким образом, можно записать распределение вероятностей:

\[ \begin{align*} X & \quad P(X) \\ 0 & \quad 0.02 \\ 1 & \quad 0.26 \\ 2 & \quad 0.72 \\ \end{align*} \]

Теперь найдем математическое ожидание \(E(X)\) и дисперсию \(D(X)\).

Математическое ожидание:

\[ E(X) = \sum x \cdot P(X = x) = 0 \cdot 0.02 + 1 \cdot 0.26 + 2 \cdot 0.72 \] \[ E(X) = 0 + 0.26 + 1.44 = 1.70 \]

Дисперсия:

Сначала найдем \(E(X^2)\):

\[ E(X^2) = \sum x^2 \cdot P(X = x) = 0^2 \cdot 0.02 + 1^2 \cdot 0.26 + 2^2 \cdot 0.72 \] \[ E(X^2) = 0 + 0.26 + 2.88 = 3.14 \]

Теперь подставим в формулу для дисперсии:

\[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 3.14 - (1.70)^2 \] \[ D(X) = 3.14 - 2.89 = 0.25 \]

Таким образом, мы получили:

• Математическое ожидание \(E(X) = 1.70\)
• Дисперсия \(D(X) = 0.25\)

Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется помощь с другим материалом, не стесняйтесь обращаться!