Обозначим новую математическую операцию a*b=(a−1)(b+1). Известно, что a*b=30, а b a=40. Чему может быть равно a+b? Укажите все возможные варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Для решения данной задачи начнем с определения новой математической операции \( a * b = (a - 1)(b + 1) \).
Дано:
\( a * b = 30 \)
То есть, \((a - 1)(b + 1) = 30\).\( b * a = 40 \)
Используя определение новой операции, \( b * a = (b - 1)(a + 1) = 40 \).
Теперь мы имеем систему уравнений:
- \( (a - 1)(b + 1) = 30 \)
- \( (b - 1)(a + 1) = 40 \)
Решим первое уравнение для \( b + 1 \): \[ b + 1 = \frac{30}{a - 1} \] Следовательно, \[ b = \frac{30}{a - 1} - 1 \]
Теперь подставим \( b \) во второе уравнение: \[ (b - 1)(a + 1) = 40 \]
Заменяем \( b \): \[ \left(\left(\frac{30}{a - 1} - 1\right) - 1\right)(a + 1) = 40 \] \[ \left(\frac{30}{a - 1} - 2\right)(a + 1) = 40 \]
Упростим: \[ \frac{30(a + 1)}{a - 1} - 2(a + 1) = 40 \] \[ \frac{30(a + 1)}{a - 1} - 2a - 2 = 40 \] Переведем всё в одно уравнение: \[ \frac{30(a + 1)}{a - 1} = 40 + 2a + 2 \] \[ \frac{30(a + 1)}{a - 1} = 2a + 42 \]
Умножим обе стороны на \( (a - 1) \): \[ 30(a + 1) = (2a + 42)(a - 1) \] Раскроем скобки: \[ 30a + 30 = 2a^2 + 42a - 2a - 42 \] \[ 30a + 30 = 2a^2 + 40a - 42 \] Перепишем уравнение так, чтобы всё было в одной стороне: \[ 0 = 2a^2 + 40a - 30a - 42 - 30 \] \[ 0 = 2a^2 + 10a - 72 \] Теперь упростим это уравнение, разделив его на 2: \[ 0 = a^2 + 5a - 36 \]
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 \] \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 13}{2} \]
Находим два возможных значения \( a \): \[ a_1 = \frac{8}{2} = 4 \quad и \quad a_2 = \frac{-18}{2} = -9 \]
Теперь подставим найденные значения \( a \) в \( b \):
Если \( a = 4 \): \[ b = \frac{30}{4 - 1} - 1 = \frac{30}{3} - 1 = 10 - 1 = 9 \]
Если \( a = -9 \): \[ b = \frac{30}{-9 - 1} - 1 = \frac{30}{-10} - 1 = -3 - 1 = -4 \]
Теперь у нас есть два случая для \( a + b \):
- \( a + b = 4 + 9 = 13 \)
- \( a + b = -9 - 4 = -13 \)
Таким образом, возможные значения для \( a + b \):
- 13
- -13
Запишите ваши ответы в отдельные поля, добавляя их по мере необходимости:
- 13
- -13
