Аня нарисовала на координатной плоскости красным фломастером множество точек (x;y), удовлетворяющих соотношение ||x|-|y||=5, а Ваня нарисовал синим фомастером окруженость с…

Для решения задачи сначала нужно понять, какие точки удовлетворяют каждому из заданных условий.

1. Аня нарисовала точки, удовлетворяющие равенству \(||x|-|y||=5\). Это уравнение можно переписать в виде двух случаев:

   • \( |x| - |y| = 5 \)
   • \( |y| - |x| = 5 \)

   Рассмотрим первый случай \( |x| - |y| = 5 \). Это можно представить как две прямые:

   \[ y = |x| - 5 \]

   Это дает две ветви:

   • \( y = x - 5 \) (для \( x \geq 0 \))
   • \( y = -x + 5 \) (для \( x \geq 0 \))
   • И аналогично для \( x < 0 \).

   Таким образом, у нас есть четыре прямые:

   • \( y = x - 5 \)
   • \( y = -x + 5 \)
   • \( y = -x - 5 \)
   • \( y = x + 5 \)

   Эти прямые пересекают оси координат в точках \((-5, 0)\), \( (5, 0)\), \( (0, 5)\) и \( (0, -5)\).

2. Ваня нарисовал окружность с радиусом 5 и центром в начале координат. Уравнение окружности выглядит так:

   \[ x^2 + y^2 = 25 \]

Теперь необходимо найти пересечения линий, нарисованных Аней, с окружностью Вани. Подставляя уравнения прямых, приведённых ранее, в уравнение окружности, мы можем найти точки пересечения.

Например, подставим \( y = x - 5 \) в уравнение окружности:

\[ x^2 + (x - 5)^2 = 25 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 + (x^2 - 10x + 25) = 25 \] \[ 2x^2 - 10x + 25 = 25 \] \[ 2x^2 - 10x = 0 \] \[ 2x(x - 5) = 0 \]

Таким образом, \( x = 0 \) или \( x = 5 \). Находим соответствующие значения \( y \):

• Если \( x = 0 \), \( y = -5 \).
• Если \( x = 5 \), \( y = 0 \).

Следующим шагом совершим аналогичный анализ для остальных линий. В общем, будет 8 точек пересечения, так как каждая из прямых имеет два положения относительно окружности.

Таким образом, мы можем заключить, что всего 8 точек были покрашены и в синем, и в красном цветах.