Log15(x-3)+log15(x-5)<1
Для решения неравенства \( \log_{15}(x-3) + \log_{15}(x-5) < 1 \), мы можем использовать свойства логарифмов.
В первую очередь, согласно свойству логарифмов, сумма логарифмов равна логарифму произведения:
\[ \log_{15}((x-3)(x-5)) < 1 \]
Теперь нам нужно избавится от логарифма. Это можно сделать, возведя 15 в степень обеих сторон (так как это основание логарифма):
\[ (x-3)(x-5) < 15^1 \]
Теперь у нас есть:
\[ (x-3)(x-5) < 15 \]
Распишем левую часть:
\[ x^2 - 8x + 15 < 15 \]
Теперь упростим неравенство:
\[ x^2 - 8x < 0 \]
Теперь вынесем общий множитель \(x\):
\[ x(x - 8) < 0 \]
Решим это неравенство. Корни уравнения \(x(x - 8) = 0\) — это \(x = 0\) и \(x = 8\). Теперь, чтобы найти, на каких интервалах выражение отрицательно, рассмотрим знак произведения на интервалах:
- \( (-\infty, 0) \): оба множителя положительны, тогда произведение положительно.
- \( (0, 8) \): первый множитель положителен, второй отрицателен, тогда произведение отрицательно.
- \( (8, +\infty) \): оба множителя положительны, тогда произведение положительно.
Таким образом, \[ x(x - 8) < 0 \] при \( 0 < x < 8 \).
Теперь нужно учесть ограничения, чтобы аргументы логарифмов были положительными:
- \(x-3 > 0 \Rightarrow x > 3\)
- \(x-5 > 0 \Rightarrow x > 5\)
Таким образом, учитывая все ограничения, находим, что \(x\) должно быть в интервале:
\[ (5, 8) \]
В результате, решение неравенства:
\[ x \in (5, 8) \]
