Имеется 11 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики так, что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между количеством шаров разных цветов в каждой коробке (если они не равны, то из большего вычел меньшее). Эти числа он написал на коробках. Оказалось, что было написано 11 разных чисел. Какое минимальное количество шариков может лежать суммарно во всех коробках?
Чтобы решить эту задачу, начнем с анализа ситуации.
У нас есть 11 коробок, в каждой из которых содержатся синие и красные шарики. Поскольку в каждой коробке должно быть хотя бы один синий и один красный шарик, можно обозначить количество синих шариков в i-ой коробке как \( b_i \), а количество красных шариков как \( r_i \). Таким образом, для каждой коробки имеет место следующее условие:
\[ b_i \geq 1 \quad \text{и} \quad r_i \geq 1. \]
Коля рассчитывает разницу между количеством шариков разных цветов в каждой коробке. Это выражается как:
\[ d_i = |b_i - r_i|, \]
где \( d_i \) — это разность, записанная на i-ой коробке. По условию задачи, все 11 чисел \( d_i \) являются разными.
Для того чтобы минимизировать общее количество шариков, необходимо разумно выбрать значения \( b_i \) и \( r_i \) для каждой коробки. Обратим внимание, что разности \( d_i \) могут принимать значения от 1 до 10, если каждое значение различно. В таком случае минимально возможные разности, начиная с 1, будут следующими:
- 1 из первой коробки
- 2 из второй
- 3 из третьей
- ...
- 10 из десятой коробки.
Таким образом, суммы \( b_i + r_i \) для каждой коробки можно представить следующим образом:
- Если взять \( d_1 = 1 \), то возможные варианты: \( (2, 1) \) или \( (1, 2) \). В этих случаях количество шариков в коробке будет 3.
- Для \( d_2 = 2 \), возможны варианты: \( (3, 1) \) или \( (1, 3) \), и так далее.
Минимальные случаи выглядят следующим образом:
- Для \( d_1 = 1 \), можно взять \( (2, 1) \) – 3 шарика.
- Для \( d_2 = 2 \), можно взять \( (3, 1) \) – 4 шарика.
- Для \( d_3 = 3 \), можно взять \( (4, 1) \) – 5 шариков.
- Для \( d_4 = 4 \), можно взять \( (5, 1) \) – 6 шариков и так далее.
Общая сумма будет:
\[ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 3 + (4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13) = 3 + 65 = 68. \]
Таким образом, минимальное количество шариков во всех коробках будет равно 68.
